Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1332
2018-12-06 
Сравните дроби: $\frac{2002}{2003}$ и $\frac{20022003}{20032002}$.
Решение:
$\frac{2002}{2003} < \frac{20022003}{20032002}$.
Первый способ. Используем следующие свойства дробей: 1) если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же, отличное от нуля, число, то значение дроби не изменится; 2) если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавить одно и то же положительное число, то значение дроби увеличится.
Поэтому, $\frac{2002}{2003} = \frac{20020000}{200300000} < \frac{20020000 + 2002}{20030000 + 2002} = \frac{20022002}{20032002} < \frac{20022003}{20032002}$. Можно и короче: $\frac{2002}{2003} = \frac{20022002}{20032003} < \frac{200220023}{20032002}$.
Второй способ. Для того, чтобы сравнить данные дроби, достаточно сравнить числа $X = 2002 \cdot 20032002$ и $Y = 2003 \cdot 20022003$. Пусть
$a = 2002$, тогда $X = a ((a + 1) \cdot 10^{4} + a); Y = (a + 1) (a \cdot 10^{4} + a + 1)$. Следовательно, $X - Y = a^{2} - (a + 1)^{2} < 0$, поэтому $X < Y$, значит, $\frac{2002}{2003} < \frac{20022003}{20032002}$.
Сравните дроби: $\frac{2002}{2003}$ и $\frac{20022003}{20032002}$.
Решение:
$\frac{2002}{2003} < \frac{20022003}{20032002}$.
Первый способ. Используем следующие свойства дробей: 1) если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же, отличное от нуля, число, то значение дроби не изменится; 2) если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавить одно и то же положительное число, то значение дроби увеличится.
Поэтому, $\frac{2002}{2003} = \frac{20020000}{200300000} < \frac{20020000 + 2002}{20030000 + 2002} = \frac{20022002}{20032002} < \frac{20022003}{20032002}$. Можно и короче: $\frac{2002}{2003} = \frac{20022002}{20032003} < \frac{200220023}{20032002}$.
Второй способ. Для того, чтобы сравнить данные дроби, достаточно сравнить числа $X = 2002 \cdot 20032002$ и $Y = 2003 \cdot 20022003$. Пусть
$a = 2002$, тогда $X = a ((a + 1) \cdot 10^{4} + a); Y = (a + 1) (a \cdot 10^{4} + a + 1)$. Следовательно, $X - Y = a^{2} - (a + 1)^{2} < 0$, поэтому $X < Y$, значит, $\frac{2002}{2003} < \frac{20022003}{20032002}$.
