Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13319
2023-08-14 
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Решение:
Допустим, что квадратные корни из трех различных простых чисел $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ являются членами некоторой геометрической прогрессии. Тогда должны выполняться
равенства $ar^{n_{1}} = \sqrt{p_{1}}, ar^{n_{2}} = \sqrt{p_{2}}, ar^{n_{3}} = \sqrt{p_{3}}$ ($n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - различные целые числа, и можно считать, что $n_{1} > n_{2} > n_{3}$).
Исключая из этих равенств $a$ и $r$, мы получим равенство
$\left ( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right )^{n_{2} - n_{3}} = \left ( \frac{p_{2}}{p_{3}} \right )^{n_{1} - n_{2}}$, или $p_{1}^{n_{2} - n_{3}}p_{3}^{n_{1} - n_{2}} = p_{2}^{n_{1} - n_{3}}$,
которое, очевидно, не может быть верным, поскольку каждое целое число разлагается на простые сомножители единственным образом.
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Решение:
Допустим, что квадратные корни из трех различных простых чисел $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ являются членами некоторой геометрической прогрессии. Тогда должны выполняться
равенства $ar^{n_{1}} = \sqrt{p_{1}}, ar^{n_{2}} = \sqrt{p_{2}}, ar^{n_{3}} = \sqrt{p_{3}}$ ($n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - различные целые числа, и можно считать, что $n_{1} > n_{2} > n_{3}$).
Исключая из этих равенств $a$ и $r$, мы получим равенство
$\left ( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right )^{n_{2} - n_{3}} = \left ( \frac{p_{2}}{p_{3}} \right )^{n_{1} - n_{2}}$, или $p_{1}^{n_{2} - n_{3}}p_{3}^{n_{1} - n_{2}} = p_{2}^{n_{1} - n_{3}}$,
которое, очевидно, не может быть верным, поскольку каждое целое число разлагается на простые сомножители единственным образом.
