Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1331
2018-12-06 
Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое кратно стозначному числу, записываемому одними тройками.
Решение:
Так как $\underbrace{33 \cdots 3}_{100 цифр} = 3 \cdot \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр}$ и эти множители - взаимно просты,
то искомое число $N$ должно быть кратно каждому из них. Для того, чтобы число $N$ было кратно трем, необходимо, чтобы сумма цифр в его десятичной записи делилась на 3, то есть, количество единиц в записи числа $N$ должно быть кратно трем. Для того, чтобы число $N$ было кратно второму сомножителю, необходимо, чтобы количество единиц в его десятичной записи делилось на 100. Действительно, разобьем число, десятичная запись которого содержит только единицы, слева направо на группы по сто цифр в каждой (в последней группе может оказаться $k$ цифр, где $k \leq 100$): $11 \cdots 1 = \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \cdots \underbrace{11 \cdots 1}_{k цифр} = \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \cdot (10^{100} + 10^{200} + \cdots ) + \underbrace{11 \cdots 1}_{k цифр}$. Тогда, если $k < 100$, то записанное число не делится на $\underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр}$, значит, и $N$ не делится на это число. Таким образом, количество единиц в десятичной записи числа $N$ должно быть не менее трехсот, причем число $\underbrace{11 \cdots 1}_{300 цифр}$, очевидно, удовлетворяет условию.
Ответ: $\underbrace{11 \cdots 1}_{300 цифр}$
Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое кратно стозначному числу, записываемому одними тройками.
Решение:
Так как $\underbrace{33 \cdots 3}_{100 цифр} = 3 \cdot \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр}$ и эти множители - взаимно просты,
то искомое число $N$ должно быть кратно каждому из них. Для того, чтобы число $N$ было кратно трем, необходимо, чтобы сумма цифр в его десятичной записи делилась на 3, то есть, количество единиц в записи числа $N$ должно быть кратно трем. Для того, чтобы число $N$ было кратно второму сомножителю, необходимо, чтобы количество единиц в его десятичной записи делилось на 100. Действительно, разобьем число, десятичная запись которого содержит только единицы, слева направо на группы по сто цифр в каждой (в последней группе может оказаться $k$ цифр, где $k \leq 100$): $11 \cdots 1 = \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \cdots \underbrace{11 \cdots 1}_{k цифр} = \underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр} \cdot (10^{100} + 10^{200} + \cdots ) + \underbrace{11 \cdots 1}_{k цифр}$. Тогда, если $k < 100$, то записанное число не делится на $\underbrace{11 \cdots 1}_{100 цифр}$, значит, и $N$ не делится на это число. Таким образом, количество единиц в десятичной записи числа $N$ должно быть не менее трехсот, причем число $\underbrace{11 \cdots 1}_{300 цифр}$, очевидно, удовлетворяет условию.
Ответ: $\underbrace{11 \cdots 1}_{300 цифр}$
