Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1330
2018-12-06 
Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если он равен одному из углов между биссектрисами, проведенными из вершин $B$ и $C$.
Решение:
Пусть $CE$ - биссектриса $\angle BCA; BF$ - биссектриса $\angle ABC; D$ - точка их пересечения (см. рис.). Введем обозначения: $\angle BAC = \alpha, \angle ABC = 2 \beta, \angle BCA = 2 \gamma$. Исходя из условия, требуется рассмотреть два случая:
1) Если $\angle BAC = \angle BDC$, то из $\Delta ABC \alpha = 180^{ \circ} - (2 \beta + 2 \gamma)$, а из $\Delta BDC \alpha = 180^{ \circ} - ( \beta + \gamma)$. Значит, $\beta + \gamma = 0$, то есть, этот случай невозможен.
2) Если $\angle BAC = \angle BDE$, то из $\Delta ABC \alpha = 180^{ \circ} - 2( \beta + \gamma )$ и $\alpha = \beta + \gamma$, так как $\angle BDE$ - внешний для $\Delta BDC$. Следовательно, $\alpha = 180^{ \circ} - 2 \alpha$, то есть, $\alpha = 60^{ \circ}$.
Ответ: $60^{ \circ}$.
Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если он равен одному из углов между биссектрисами, проведенными из вершин $B$ и $C$.
Решение:
Пусть $CE$ - биссектриса $\angle BCA; BF$ - биссектриса $\angle ABC; D$ - точка их пересечения (см. рис.). Введем обозначения: $\angle BAC = \alpha, \angle ABC = 2 \beta, \angle BCA = 2 \gamma$. Исходя из условия, требуется рассмотреть два случая:
1) Если $\angle BAC = \angle BDC$, то из $\Delta ABC \alpha = 180^{ \circ} - (2 \beta + 2 \gamma)$, а из $\Delta BDC \alpha = 180^{ \circ} - ( \beta + \gamma)$. Значит, $\beta + \gamma = 0$, то есть, этот случай невозможен.
2) Если $\angle BAC = \angle BDE$, то из $\Delta ABC \alpha = 180^{ \circ} - 2( \beta + \gamma )$ и $\alpha = \beta + \gamma$, так как $\angle BDE$ - внешний для $\Delta BDC$. Следовательно, $\alpha = 180^{ \circ} - 2 \alpha$, то есть, $\alpha = 60^{ \circ}$.
Ответ: $60^{ \circ}$.
