Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 133
2014-06-07 
Найти все пары чисел $x, y \in (0, \pi /2)$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
\frac{\cos x}{\cos y}=2 \cos^{2}y,&\text{}\\
\frac{\sin x}{\sin y}=2 \sin^{2} y,&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Сложив уравнения исходной системы, получаем для любого решения системы
$\frac{\cos y \sin y + \sin x \cos y }{\cos y \sin y} = 2$,
т.е.
$\frac{\sin(x+y)}{\sin 2y} = 1$.
Следовательно,
$\sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x + 3y}{2} \right ) = 0$,
а поскольку $x, y \in (0; \pi /2)$, то либо $x = y$, либо $x + 3y = \pi$. Далее, рассмотрев разность двух исходных уравнений, имеем
$\frac{\sin(y-x)}{\sin 2y} = \cos 2y$ т.е. $\sin (y-x) = \frac{1}{2} \sin 4y$.
Если $x = y$, то $\sin 4y = 0$, откуда $y = \pi / 4$ (ибо $y \in (0; \pi /2 )$)- Отсюда следует, что $x = y = \pi /4$. Если же $x = \pi – 3y$, то $\sin (4y - \pi) = \frac{1}{2}\sin 4y$ или $ - \sin 4y = \frac{1}{2} \sin 4y$, значит, $\sin 4y = 0$. Поэтому опять получаем $y = \pi /4, x = \pi – 3 \pi /4 = \pi /4$. Таким образом, имеем $x = y = \pi /4$. Проверкой убеждаемся, что значения $x = y = \pi /4$ действительно удовлетворяют исходной системе.
Найти все пары чисел $x, y \in (0, \pi /2)$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
\frac{\cos x}{\cos y}=2 \cos^{2}y,&\text{}\\
\frac{\sin x}{\sin y}=2 \sin^{2} y,&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Сложив уравнения исходной системы, получаем для любого решения системы
$\frac{\cos y \sin y + \sin x \cos y }{\cos y \sin y} = 2$,
т.е.
$\frac{\sin(x+y)}{\sin 2y} = 1$.
Следовательно,
$\sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x + 3y}{2} \right ) = 0$,
а поскольку $x, y \in (0; \pi /2)$, то либо $x = y$, либо $x + 3y = \pi$. Далее, рассмотрев разность двух исходных уравнений, имеем
$\frac{\sin(y-x)}{\sin 2y} = \cos 2y$ т.е. $\sin (y-x) = \frac{1}{2} \sin 4y$.
Если $x = y$, то $\sin 4y = 0$, откуда $y = \pi / 4$ (ибо $y \in (0; \pi /2 )$)- Отсюда следует, что $x = y = \pi /4$. Если же $x = \pi – 3y$, то $\sin (4y - \pi) = \frac{1}{2}\sin 4y$ или $ - \sin 4y = \frac{1}{2} \sin 4y$, значит, $\sin 4y = 0$. Поэтому опять получаем $y = \pi /4, x = \pi – 3 \pi /4 = \pi /4$. Таким образом, имеем $x = y = \pi /4$. Проверкой убеждаемся, что значения $x = y = \pi /4$ действительно удовлетворяют исходной системе.
