Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1327
2018-12-06 
Существует ли такое натуральное число, которое при умножении на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении на 3 - кубом какого-то натурального числа, после умножения на 5 - пятой степенью какого-нибудь натурального числа, а после умножения на 7 - седьмой степенью какого-либо натурального числа?
Решение:
Заметим, что если $N = p_{1}^{ \alpha} \cdot p_{2}^{ \beta} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{ \omega}$ (то есть число $N$ разложено на простые множители), то для того, чтобы оно являлось квадратом натурального числа необходимо и достаточно, чтобы каждое из чисел $\alpha, \beta, \cdots , \omega$ из было кратно двум. Аналогично, для того, чтобы число $N$ являлось кубом натурального числа, необходимо и достаточно, чтобы каждый из этих показателей степеней был кратен трем, и т. д. Поэтому, чтобы привести пример числа $N$, удовлетворяющего условию задачи, заметим, что в его разложение на простые множители обязаны входить числа 2, 3, 5 и 7, то есть, $N$ делится на $2^{ \alpha} \cdot 3^{ \beta} \cdot 5^{ \gamma} \cdot 7^{ \lambda}$. Подберем показатели степеней так, чтобы выполнялись все данные условия. Число $\alpha$ должно быть кратно трем, пяти и семи, а при делении на 2 давать остаток 1, например, $\alpha = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Аналогично, число $\beta$ должно быть кратно двум, пяти и семи, а при делении на 3 давать остаток 2, например, $\beta = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 = 140$. Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что $\gamma = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 84; \lambda = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 = 90$.
Заметим, что указанное число является наименьшим из возможных. Для того чтобы найти общий вид всех таких чисел, необходимо записать показатели степеней в виде: $\alpha = 2k - 1; \beta = 3m - 2; \gamma = 5n - 4; \lambda = 7p - 6$ и решить в натуральных числах уравнения: $2k - 1 = 105x;; 3m - 2 = 70y; 5n - 4 = 42z$ и $7p - 6 = 30t$. Остальные простые множители могут входить в разложение искомых чисел с показателями степеней, кратными $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
Ответ: да, существует, например: $2^{105} \cdot 3^{140} \cdot 5^{84} \cdot 7^{90}$.
Существует ли такое натуральное число, которое при умножении на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении на 3 - кубом какого-то натурального числа, после умножения на 5 - пятой степенью какого-нибудь натурального числа, а после умножения на 7 - седьмой степенью какого-либо натурального числа?
Решение:
Заметим, что если $N = p_{1}^{ \alpha} \cdot p_{2}^{ \beta} \cdot \cdots \cdot p_{k}^{ \omega}$ (то есть число $N$ разложено на простые множители), то для того, чтобы оно являлось квадратом натурального числа необходимо и достаточно, чтобы каждое из чисел $\alpha, \beta, \cdots , \omega$ из было кратно двум. Аналогично, для того, чтобы число $N$ являлось кубом натурального числа, необходимо и достаточно, чтобы каждый из этих показателей степеней был кратен трем, и т. д. Поэтому, чтобы привести пример числа $N$, удовлетворяющего условию задачи, заметим, что в его разложение на простые множители обязаны входить числа 2, 3, 5 и 7, то есть, $N$ делится на $2^{ \alpha} \cdot 3^{ \beta} \cdot 5^{ \gamma} \cdot 7^{ \lambda}$. Подберем показатели степеней так, чтобы выполнялись все данные условия. Число $\alpha$ должно быть кратно трем, пяти и семи, а при делении на 2 давать остаток 1, например, $\alpha = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Аналогично, число $\beta$ должно быть кратно двум, пяти и семи, а при делении на 3 давать остаток 2, например, $\beta = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 = 140$. Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что $\gamma = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 84; \lambda = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 = 90$.
Заметим, что указанное число является наименьшим из возможных. Для того чтобы найти общий вид всех таких чисел, необходимо записать показатели степеней в виде: $\alpha = 2k - 1; \beta = 3m - 2; \gamma = 5n - 4; \lambda = 7p - 6$ и решить в натуральных числах уравнения: $2k - 1 = 105x;; 3m - 2 = 70y; 5n - 4 = 42z$ и $7p - 6 = 30t$. Остальные простые множители могут входить в разложение искомых чисел с показателями степеней, кратными $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
Ответ: да, существует, например: $2^{105} \cdot 3^{140} \cdot 5^{84} \cdot 7^{90}$.
