Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1326
2018-12-06 
Даны две перпендикулярные прямые и точка $C$, не принадлежащая ни одной из них. Рассмотрим все прямоугольники $CDME$ такие, что вершина $D$ лежит на одной из данных прямых, а вершина $E$ - на другой. Найдите геометрическое место точек $M$.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения данных прямых. Рассмотрим один из прямоугольников, описанных в условии, и проведем его диагонали (см. рис. а). Соединим точку О отрезками с точками $C, M$ и $P$. Так как $OP$ - медиана прямоугольного треугольника $DOE$, то $OP = 0,5DE$. Диагонали $DE$ и $CM$ прямоугольника $CDME$ равны, следовательно, $OP = 0,5CM$, значит, $\Delta COM$ - прямоугольный с прямым углом $COM$. Таким образом, доказано, что если $M$ - вершина данного прямоугольника, то она лежит на прямой, перпендикулярной к $OC$ и проходящей через точку $O$.
Докажем, что любая точка $M$ этой прямой является вершиной одного из прямоугольников. Построим окружность с диаметром $CM$, центром которой является точка $P$ (см. рис. б). Так как $\angle COM = 90^{ \circ}$, то эта окружность пройдет через точку $O$, а так как расстояние от $P$ до каждой из данных прямых меньше, чем $PO$, то она пересечет данные прямые в точках $D$ и $E$ соответственно. $DE$ также является диаметром построенной окружности, так как $\angle DOE = 90^{ \circ}$. Следовательно, $CDME$ - прямоугольник.
Если точки $M$ и $O$ - совпадают, то искомым является прямоугольник, стороны $CD$ и $CE$ которого соответственно перпендикулярны прямым $OA$ и $OB$ (см. рис. в).
Ответ: прямая, проходящая через точку О пересечения данных прямых, и перпендикулярная прямой ОС.
Даны две перпендикулярные прямые и точка $C$, не принадлежащая ни одной из них. Рассмотрим все прямоугольники $CDME$ такие, что вершина $D$ лежит на одной из данных прямых, а вершина $E$ - на другой. Найдите геометрическое место точек $M$.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения данных прямых. Рассмотрим один из прямоугольников, описанных в условии, и проведем его диагонали (см. рис. а). Соединим точку О отрезками с точками $C, M$ и $P$. Так как $OP$ - медиана прямоугольного треугольника $DOE$, то $OP = 0,5DE$. Диагонали $DE$ и $CM$ прямоугольника $CDME$ равны, следовательно, $OP = 0,5CM$, значит, $\Delta COM$ - прямоугольный с прямым углом $COM$. Таким образом, доказано, что если $M$ - вершина данного прямоугольника, то она лежит на прямой, перпендикулярной к $OC$ и проходящей через точку $O$.
Докажем, что любая точка $M$ этой прямой является вершиной одного из прямоугольников. Построим окружность с диаметром $CM$, центром которой является точка $P$ (см. рис. б). Так как $\angle COM = 90^{ \circ}$, то эта окружность пройдет через точку $O$, а так как расстояние от $P$ до каждой из данных прямых меньше, чем $PO$, то она пересечет данные прямые в точках $D$ и $E$ соответственно. $DE$ также является диаметром построенной окружности, так как $\angle DOE = 90^{ \circ}$. Следовательно, $CDME$ - прямоугольник.
Если точки $M$ и $O$ - совпадают, то искомым является прямоугольник, стороны $CD$ и $CE$ которого соответственно перпендикулярны прямым $OA$ и $OB$ (см. рис. в).
Ответ: прямая, проходящая через точку О пересечения данных прямых, и перпендикулярная прямой ОС.
