Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13253
2023-07-28 
В остроугольном треугольнике $ABC$ опустим высоту $AH$. Выбрав на $AH$ произвольную точку $D$, проведем прямую $BD$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $E$. Проведем далее прямую $CD$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $F$. Докажите, что угол $AHE$ равен углу $AHF$.
Решение:
Через точку $D$ параллельно $BC$ проведем прямую, пересекающую $HE, HF, AC$ и $AB$ соответственно в точках $P, Q, R, S$. Тогда
$\frac{DP}{DR} = \frac{BH}{BC}, \frac{DS}{DQ} = \frac{BC}{CH}$ и $\frac{DR}{DS} = \frac{CH}{BH}$.
Перемножив эти три равенства, мы получим, что $DP = DQ$. Таким образом, в треугольнике $HPQ$ высота делит основание $PQ$ на две равные части, следовательно, треугольник $HPQ$ - равнобедренный, $HA$ - биссектриса угла $FHE$, а углы $AHE$ и $AHF$ равны между собой.
В остроугольном треугольнике $ABC$ опустим высоту $AH$. Выбрав на $AH$ произвольную точку $D$, проведем прямую $BD$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $E$. Проведем далее прямую $CD$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $F$. Докажите, что угол $AHE$ равен углу $AHF$.
Решение:
Через точку $D$ параллельно $BC$ проведем прямую, пересекающую $HE, HF, AC$ и $AB$ соответственно в точках $P, Q, R, S$. Тогда
$\frac{DP}{DR} = \frac{BH}{BC}, \frac{DS}{DQ} = \frac{BC}{CH}$ и $\frac{DR}{DS} = \frac{CH}{BH}$.
Перемножив эти три равенства, мы получим, что $DP = DQ$. Таким образом, в треугольнике $HPQ$ высота делит основание $PQ$ на две равные части, следовательно, треугольник $HPQ$ - равнобедренный, $HA$ - биссектриса угла $FHE$, а углы $AHE$ и $AHF$ равны между собой.
