Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1324
2018-12-06 
Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером $3 \times 1$. Какую клетку изначально вырезали из квадрата?
Решение:
Несложно заметить, что центральная клетка квадрата могла быть вырезана (см. рис. а). Докажем, что никакая другая клетка не могла быть вырезана. Для этого, раскрасим квадрат в три цвета, используя «диагональную» раскраску (см. рис. б). Получим 9 белых, 8 серых и 8 черных клеток. Любой прямоугольник размером $3 \times 1$, независимо от его расположения, будет содержать клетки трех цветов, поэтому вырезанной может оказаться только белая клетка. Для того, чтобы показать, что остальные белые клетки не являются решением задачи, еще раз используем «диагональную» раскраску, «повернув» квадрат на $90^{ \circ}$ (см. рис. в). В этом случае, количество клеток каждого цвета не изменится, значит, вырезанной по-прежнему может быть только белая клетка, но единственной белой клеткой, сохранившей свой цвет, является центральная.
Ответ: изначально вырезали центральную клетку.
Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером $3 \times 1$. Какую клетку изначально вырезали из квадрата?
Решение:
Несложно заметить, что центральная клетка квадрата могла быть вырезана (см. рис. а). Докажем, что никакая другая клетка не могла быть вырезана. Для этого, раскрасим квадрат в три цвета, используя «диагональную» раскраску (см. рис. б). Получим 9 белых, 8 серых и 8 черных клеток. Любой прямоугольник размером $3 \times 1$, независимо от его расположения, будет содержать клетки трех цветов, поэтому вырезанной может оказаться только белая клетка. Для того, чтобы показать, что остальные белые клетки не являются решением задачи, еще раз используем «диагональную» раскраску, «повернув» квадрат на $90^{ \circ}$ (см. рис. в). В этом случае, количество клеток каждого цвета не изменится, значит, вырезанной по-прежнему может быть только белая клетка, но единственной белой клеткой, сохранившей свой цвет, является центральная.
Ответ: изначально вырезали центральную клетку.
