Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13239
2023-07-28 
У прямоугольной карты один угол загибается так, что его вершина попадает на сторону карты. При этом получаются три прямоугольных треугольника, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Если площадь наименьшего из этих треугольников равна 3 $см^{2}$, то чему равна площадь наибольшего из них?
Решение:
Если $S_{BEH} = 3$, то положим $S_{CED} = 3 + 4a$; тогда $S_{EHD} = 3 + 8a$. Опустим на $AD$ перпендикуляр $EF$, пересекающий $HD$ в точке $G$. Через точку $C$ проведем $AK$.
а также проведем отрезок $AE$, пересекающий $HD$ в точке $J$. Теперь прямоугольник $ABCD$ разбит на 10 прямоугольных треугольников. Из соображений симметрии следует, что $S_{EGK} = S_{AGF} = S_{BEH} = 3. S_{CED}= S_{EFD}$, поэтому $S_{GKD} = S_{GFD} = 2a$. Следовательно, площадь каждого из четырех треугольников, составляющих ромб $AHEG$, равна $3a$.
Из двух пар подобных треугольников получаем
$\frac{S_{CED}}{S_{BEH}} = \frac{(DE)^{2}}{(EH)^{2}} = \frac{S_{JED}}{D_{JEH}}$.
откуда
$\frac{3 + 4a}{3} = \frac{3 + 5a}{3a}$,
$4a^{2} - 2a - 3 = 0$.
$4a = 1 + \sqrt{13}$.
Следовательно, площадь наибольшего треугольника $EHD$ равна $8a + 3 = 5 + 2 \sqrt{13} \approx 12,2111 см^{2}$.
У прямоугольной карты один угол загибается так, что его вершина попадает на сторону карты. При этом получаются три прямоугольных треугольника, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Если площадь наименьшего из этих треугольников равна 3 $см^{2}$, то чему равна площадь наибольшего из них?
Решение:
Если $S_{BEH} = 3$, то положим $S_{CED} = 3 + 4a$; тогда $S_{EHD} = 3 + 8a$. Опустим на $AD$ перпендикуляр $EF$, пересекающий $HD$ в точке $G$. Через точку $C$ проведем $AK$.
а также проведем отрезок $AE$, пересекающий $HD$ в точке $J$. Теперь прямоугольник $ABCD$ разбит на 10 прямоугольных треугольников. Из соображений симметрии следует, что $S_{EGK} = S_{AGF} = S_{BEH} = 3. S_{CED}= S_{EFD}$, поэтому $S_{GKD} = S_{GFD} = 2a$. Следовательно, площадь каждого из четырех треугольников, составляющих ромб $AHEG$, равна $3a$.
Из двух пар подобных треугольников получаем
$\frac{S_{CED}}{S_{BEH}} = \frac{(DE)^{2}}{(EH)^{2}} = \frac{S_{JED}}{D_{JEH}}$.
откуда
$\frac{3 + 4a}{3} = \frac{3 + 5a}{3a}$,
$4a^{2} - 2a - 3 = 0$.
$4a = 1 + \sqrt{13}$.
Следовательно, площадь наибольшего треугольника $EHD$ равна $8a + 3 = 5 + 2 \sqrt{13} \approx 12,2111 см^{2}$.
