Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13231
2023-07-20 
В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$. Найти гипотенузу.
Решение:
Пусть $BM$ и $AN$ - медианы, проведённые к катетам $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$. Введём обозначения: $AM = MC = x, BN = NC = y$. Требуется найти гипотенузу
$AB = \sqrt{(2x)^{2} + (2y)^{2}} = 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.
Запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $MCB$ и $ACN$:
$x^{2} + (2y)^{2} =73; (2x)^{2} + y^{2} =52$.
Сложив два последних уравнения, получаем
$5 (x^{2} + y^{2}) = 125 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 25 \Rightarrow AB = 2 \cdot 5=10$.
Ответ. 10.
В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$. Найти гипотенузу.
Решение:
Пусть $BM$ и $AN$ - медианы, проведённые к катетам $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$. Введём обозначения: $AM = MC = x, BN = NC = y$. Требуется найти гипотенузу
$AB = \sqrt{(2x)^{2} + (2y)^{2}} = 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.
Запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $MCB$ и $ACN$:
$x^{2} + (2y)^{2} =73; (2x)^{2} + y^{2} =52$.
Сложив два последних уравнения, получаем
$5 (x^{2} + y^{2}) = 125 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 25 \Rightarrow AB = 2 \cdot 5=10$.
Ответ. 10.
