Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1323
2018-12-06 
Найдите все натуральные значения $n$, для которых число $n^{5} + n + 1$ является простым.
Решение:
Разложим данное выражение на множители: $n^{5} + n + 1 = (n^{5} - n^{2}) + (n^{2} + n + 1) = n^{2}(n - 1)(n^{2} + n + 1) + (n^{2} + n + 1) = (n^{2} + n + 1)(n^{3} - n^{2} + 1)$. Данное число будет простым тогда и только тогда, когда один из полученных множителей равен 1, а другой множитель - простое число. Так как $n^{2} + n + 1 \geq 3$ при всех натуральных значениях $n$, то $n^{3} - n^{2} + 1 = 1$, то есть, $n^{2}(n - 1) = 0$. Это уравнение имеет единственное решение в натуральных числах: $n = 1$. При этом значении п первый множитель равен 3.
Ответ: $n = 1$.
Найдите все натуральные значения $n$, для которых число $n^{5} + n + 1$ является простым.
Решение:
Разложим данное выражение на множители: $n^{5} + n + 1 = (n^{5} - n^{2}) + (n^{2} + n + 1) = n^{2}(n - 1)(n^{2} + n + 1) + (n^{2} + n + 1) = (n^{2} + n + 1)(n^{3} - n^{2} + 1)$. Данное число будет простым тогда и только тогда, когда один из полученных множителей равен 1, а другой множитель - простое число. Так как $n^{2} + n + 1 \geq 3$ при всех натуральных значениях $n$, то $n^{3} - n^{2} + 1 = 1$, то есть, $n^{2}(n - 1) = 0$. Это уравнение имеет единственное решение в натуральных числах: $n = 1$. При этом значении п первый множитель равен 3.
Ответ: $n = 1$.
