Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13220
2023-07-20 
Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны $3 \sqrt{2}$ и $6 \sqrt{2}$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный $45^{ \circ}$. Найдите объем усеченной пирамиды.
Решение:
Для вычисления объема усеченной пирамиды нам необходимо найти ее высоту и площади ее оснований. Пусть усеченная пирамида $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ получена отсечением плоскостью $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ из правильной пирамиды $SABCD$. Площадь меньшего основания равна
$S_{1} = S_{A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = (A^{ \prime} B^{ \prime} )^{2} = (3 \sqrt{2})^{2} = 18$,
площадь большего основания равна
$S_{2} = S_{ABCD} = AB^{2} = (6 \sqrt{2})^{2} = 72$.
Рассмотрим сечение, проходящее через высоту $SH$ и диагональ основания $AC$. Искомая высота усеченной пирамиды равна высоте $h$ равнобокой трапеции $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$. Основания трапеции равны
$A^{ \prime} C^{ \prime} = A^{ \prime}B^{ \prime} \cdot \sqrt{2} = 6, AC = AB \cdot \sqrt{2} = 12$,
проекции боковых сторон трапеции равны
$AP = QC = \frac{AC - A^{ \prime}C^{ \prime}}{2} = 3$.
Так как высота $SH$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то угол $SCH$ является углом между боковым ребром и основанием пирамиды и равен $45^{ \circ}$. Следовательно, в треугольнике $CC^{ \prime}Q$ углы $\angle CC^{ \prime}Q = \angle C^{ \prime}CQ = 45^{ \circ}$ и он является равнобедренным. В результате, высота $C^{ \prime}Q = CQ = 3$ и объем усеченной пирамиды равен
$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1}S_{2}} + S_{2}) = 126$.
З а м е ч а н и е. Можно было обойтись без применения специальной формулы объема усеченной пирамиды, а найти разность объемов пирамид $SABCD$ и $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$:
$V = V_{SABCD} - V_{SA^{ \prime} B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = \frac{1}{3} SH \cdot S_{2} - \frac{1}{3} SH^{ \prime} \cdot S_{1} = 126$.
Ответ. 126.
Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны $3 \sqrt{2}$ и $6 \sqrt{2}$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный $45^{ \circ}$. Найдите объем усеченной пирамиды.
Решение:
Для вычисления объема усеченной пирамиды нам необходимо найти ее высоту и площади ее оснований. Пусть усеченная пирамида $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ получена отсечением плоскостью $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ из правильной пирамиды $SABCD$. Площадь меньшего основания равна
$S_{1} = S_{A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = (A^{ \prime} B^{ \prime} )^{2} = (3 \sqrt{2})^{2} = 18$,
площадь большего основания равна
$S_{2} = S_{ABCD} = AB^{2} = (6 \sqrt{2})^{2} = 72$.
Рассмотрим сечение, проходящее через высоту $SH$ и диагональ основания $AC$. Искомая высота усеченной пирамиды равна высоте $h$ равнобокой трапеции $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$. Основания трапеции равны
$A^{ \prime} C^{ \prime} = A^{ \prime}B^{ \prime} \cdot \sqrt{2} = 6, AC = AB \cdot \sqrt{2} = 12$,
проекции боковых сторон трапеции равны
$AP = QC = \frac{AC - A^{ \prime}C^{ \prime}}{2} = 3$.
Так как высота $SH$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то угол $SCH$ является углом между боковым ребром и основанием пирамиды и равен $45^{ \circ}$. Следовательно, в треугольнике $CC^{ \prime}Q$ углы $\angle CC^{ \prime}Q = \angle C^{ \prime}CQ = 45^{ \circ}$ и он является равнобедренным. В результате, высота $C^{ \prime}Q = CQ = 3$ и объем усеченной пирамиды равен
$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1}S_{2}} + S_{2}) = 126$.
З а м е ч а н и е. Можно было обойтись без применения специальной формулы объема усеченной пирамиды, а найти разность объемов пирамид $SABCD$ и $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$:
$V = V_{SABCD} - V_{SA^{ \prime} B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}} = \frac{1}{3} SH \cdot S_{2} - \frac{1}{3} SH^{ \prime} \cdot S_{1} = 126$.
Ответ. 126.
