Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1321
2018-12-06 
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ равны стороны $AB$ и $CD$ и равны углы $A$ и $C$. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?
Решение:
Примеры четырехугольников, отличных от параллелограмма и удовлетворяющих условию, можно получить различными способами.
Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABE$ (см. рис. а). На его основании $AE$ выберем такую точку $D$, что $AD > DE$. Построим угол $BDF$, равный углу $DBE$ так, чтобы луч $DF$ пересекал $BE$. На этом луче отложим отрезок $CD$, равный $BE$. Тогда, $\Delta BDE = \Delta DBC$ по двум сторонам и углу между ними. $ABCD$ - искомый четырехугольник, так как $\angle BAD = \angle BED = \angle BCD$ и $AB = BE = CD$.
Второй способ. Рассмотрим две окружности равного радиуса с центрами $O$ и $O_{1}$ (см. рис. б). $BD$ - их общая хорда. Проведем в одной окружности хорды $DA$ и $DA_{1}$ на одинаковом расстоянии от центра $O$, а в другой окружности - хорды $BC$ и $BC_{1}$ на таком же расстоянии от центра $O_{1}$. Так как $DA = DA_{1} = BC = BC_{1}$ и $\angle BAD = \angle BCD$ (вписанные углы в равных окружностях, опирающиеся на равные дуги), то $ABCD$ - искомый четырехугольник.
В приведенных примерах $ABCD$ - выпуклый четырехугольник. В первом примере это обеспечивается выбором треугольника $ABC$: достаточно рассмотреть треугольник, у которого основание не меньше боковой стороны (в частности, равносторонний). Во втором примере очевидно, что всегда можно выбрать хорды $DA$ и $BC$ так, чтобы $ABCD$ был выпуклым.
Ответ: утверждение неверно.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ равны стороны $AB$ и $CD$ и равны углы $A$ и $C$. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?
Решение:
Примеры четырехугольников, отличных от параллелограмма и удовлетворяющих условию, можно получить различными способами.
Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABE$ (см. рис. а). На его основании $AE$ выберем такую точку $D$, что $AD > DE$. Построим угол $BDF$, равный углу $DBE$ так, чтобы луч $DF$ пересекал $BE$. На этом луче отложим отрезок $CD$, равный $BE$. Тогда, $\Delta BDE = \Delta DBC$ по двум сторонам и углу между ними. $ABCD$ - искомый четырехугольник, так как $\angle BAD = \angle BED = \angle BCD$ и $AB = BE = CD$.
Второй способ. Рассмотрим две окружности равного радиуса с центрами $O$ и $O_{1}$ (см. рис. б). $BD$ - их общая хорда. Проведем в одной окружности хорды $DA$ и $DA_{1}$ на одинаковом расстоянии от центра $O$, а в другой окружности - хорды $BC$ и $BC_{1}$ на таком же расстоянии от центра $O_{1}$. Так как $DA = DA_{1} = BC = BC_{1}$ и $\angle BAD = \angle BCD$ (вписанные углы в равных окружностях, опирающиеся на равные дуги), то $ABCD$ - искомый четырехугольник.
В приведенных примерах $ABCD$ - выпуклый четырехугольник. В первом примере это обеспечивается выбором треугольника $ABC$: достаточно рассмотреть треугольник, у которого основание не меньше боковой стороны (в частности, равносторонний). Во втором примере очевидно, что всегда можно выбрать хорды $DA$ и $BC$ так, чтобы $ABCD$ был выпуклым.
Ответ: утверждение неверно.
