Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13204
2023-07-20 
Треугольник $ABC$ со стороной $BC = 4$ и углом $C$, равным $30^{ \circ}$ вписан в окружность, радиуса 6. Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную $AC$, и расстояние между точками, в которых ее продолжение пересекает окружность.
Решение:
Поскольку средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны, надо найти сторону $AC$. Для её нахождения нам достаточно знать $AB$. Найдём сторону $AB$ по теореме синусов:
$\frac{AB}{ \sin 30^{ \circ}} = 2R \Rightarrow AB = 6$.
Теперь найдем $x = AC$ с помощью теоремы косинусов:
$6^{2} = 4^{2} + x^{2} - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos 30^{ \circ} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{3} \pm 4 \sqrt{2}$.
Нам подходит только положительное значение $z = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$. Следовательно, средняя линия $PQ = \frac{x}{2} = \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}$.
Пусть прямая, содержащая среднюю линию, пересекает окружность в точках $K$ и $M$. Обозначим $y = KP, z = QM$ и запишем соотношение для пересекающихся хорд $BC$ и $KM$:
$BP \cdot PC = KP \cdot PM \Leftrightarrow 2^{2} = y \left ( \frac{x}{2} + z \right )$.
Аналогично для хорд $AB$ и $KM$:
$AQ \cdot QB = MQ \cdot QK \Leftrightarrow 3^{2} = z \left ( \frac{x}{2} + y \right )$.
В результате получаем систему
$\begin{cases} 4 = y \frac{x}{2} + yz, \\ 9 = z \frac{x}{2} + yz. \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго и выразим $z$ через $y$:
$5 = \frac{x}{2} (z - y) \Leftrightarrow z = y + \frac{10}{x}$.
Подставим выражение для $z$ в первое уравнение системы:
$4 = y \frac{x}{2} + y \left ( y + \frac{10}{x} \right ) \Leftrightarrow y^{2} + 2y \left ( \frac{x}{4} + \frac{5}{x} \right ) - 4 = 0$.
Так как $x = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$ и $\frac{1}{x} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{10}$, то $\frac{x}{4} + \frac{5}{x} = 2 \sqrt{2}$.
Следовательно, $y^{2} + 4 \sqrt{2}y - 4 = 0$ и $y = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$.
В результате, $z = \sqrt{3}$ и $KM = 4 \sqrt{3}$.
Ответ. $\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}; 4 \sqrt{3}$.
Треугольник $ABC$ со стороной $BC = 4$ и углом $C$, равным $30^{ \circ}$ вписан в окружность, радиуса 6. Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную $AC$, и расстояние между точками, в которых ее продолжение пересекает окружность.
Решение:
Поскольку средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны, надо найти сторону $AC$. Для её нахождения нам достаточно знать $AB$. Найдём сторону $AB$ по теореме синусов:
$\frac{AB}{ \sin 30^{ \circ}} = 2R \Rightarrow AB = 6$.
Теперь найдем $x = AC$ с помощью теоремы косинусов:
$6^{2} = 4^{2} + x^{2} - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos 30^{ \circ} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{3} \pm 4 \sqrt{2}$.
Нам подходит только положительное значение $z = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$. Следовательно, средняя линия $PQ = \frac{x}{2} = \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}$.
Пусть прямая, содержащая среднюю линию, пересекает окружность в точках $K$ и $M$. Обозначим $y = KP, z = QM$ и запишем соотношение для пересекающихся хорд $BC$ и $KM$:
$BP \cdot PC = KP \cdot PM \Leftrightarrow 2^{2} = y \left ( \frac{x}{2} + z \right )$.
Аналогично для хорд $AB$ и $KM$:
$AQ \cdot QB = MQ \cdot QK \Leftrightarrow 3^{2} = z \left ( \frac{x}{2} + y \right )$.
В результате получаем систему
$\begin{cases} 4 = y \frac{x}{2} + yz, \\ 9 = z \frac{x}{2} + yz. \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго и выразим $z$ через $y$:
$5 = \frac{x}{2} (z - y) \Leftrightarrow z = y + \frac{10}{x}$.
Подставим выражение для $z$ в первое уравнение системы:
$4 = y \frac{x}{2} + y \left ( y + \frac{10}{x} \right ) \Leftrightarrow y^{2} + 2y \left ( \frac{x}{4} + \frac{5}{x} \right ) - 4 = 0$.
Так как $x = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$ и $\frac{1}{x} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{10}$, то $\frac{x}{4} + \frac{5}{x} = 2 \sqrt{2}$.
Следовательно, $y^{2} + 4 \sqrt{2}y - 4 = 0$ и $y = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$.
В результате, $z = \sqrt{3}$ и $KM = 4 \sqrt{3}$.
Ответ. $\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}; 4 \sqrt{3}$.
