Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 132
2014-06-07 
Найти все пары натуральных чисел $A \neq B$, для которых система
$
\begin{cases}
\cos Ax + \cos Bx=0,&\text{}\\
A \sin Ax+ B \sin Bx=0,&\text{}
\end{cases}
$
имеет решение.
Решение:
Пусть заданная система при некоторых искомых значениях А, В имеет решение х. Из первого уравнения системы получаем, что $\cos Bx = - \cos Ax$, поэтому $\sin Bx = \varepsilon \sin Ax$, где $\varepsilon \in{ - 1; 1}$. Тогда из второго уравнения системы получаем
$(A + \varepsilon B) \sin Ax = 0$.
Так как $A, B \in \mathbf{N}$ и $A \neq B$, то $A + \varepsilon B \neq 0$. Итак, $ \sin Ax = 0 = \sin Bx$, откуда
$Ax = k \pi, Bx = n \pi (k,n \in \mathbf{Z})$.
Подставляя эти значения Ах и Вх в первое уравнение системы, находим, что числа k и n имеют разную четность. Исключая переменную х, получаем условие $Bk = An$. Так как четность чисел k и n различна, то в разложении чисел $A,B \in \mathbf{N}$ на простые множители число 2 имеет различные показатели. Обратно, если $A=2^{l}p, B = 2^{m}q$, где $l, m \in \mathbf{Z}^{+}, l \neq m, p,q \in \mathbf{N}$ и $p, q$ нечетны, то исходная система имеет решение $x = \pi / 2^{s}$, где $s = min (l; m)$.
Найти все пары натуральных чисел $A \neq B$, для которых система
$
\begin{cases}
\cos Ax + \cos Bx=0,&\text{}\\
A \sin Ax+ B \sin Bx=0,&\text{}
\end{cases}
$
имеет решение.
Решение:
Пусть заданная система при некоторых искомых значениях А, В имеет решение х. Из первого уравнения системы получаем, что $\cos Bx = - \cos Ax$, поэтому $\sin Bx = \varepsilon \sin Ax$, где $\varepsilon \in{ - 1; 1}$. Тогда из второго уравнения системы получаем
$(A + \varepsilon B) \sin Ax = 0$.
Так как $A, B \in \mathbf{N}$ и $A \neq B$, то $A + \varepsilon B \neq 0$. Итак, $ \sin Ax = 0 = \sin Bx$, откуда
$Ax = k \pi, Bx = n \pi (k,n \in \mathbf{Z})$.
Подставляя эти значения Ах и Вх в первое уравнение системы, находим, что числа k и n имеют разную четность. Исключая переменную х, получаем условие $Bk = An$. Так как четность чисел k и n различна, то в разложении чисел $A,B \in \mathbf{N}$ на простые множители число 2 имеет различные показатели. Обратно, если $A=2^{l}p, B = 2^{m}q$, где $l, m \in \mathbf{Z}^{+}, l \neq m, p,q \in \mathbf{N}$ и $p, q$ нечетны, то исходная система имеет решение $x = \pi / 2^{s}$, где $s = min (l; m)$.
