Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1317
2018-12-06 
Найдите все положительные решения системы уравнений
$\begin{cases} a + b = c^{2}, \\ b + c = d^{2}, \\ c + d = a^{2} , \\ d + a = b^{2} \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Вычитая из первого уравнения второе, из второго - третье, и т. д., получим, что:
$a - c = c^{2} - d^{2}$ (1);
$b - d = d^{2} - a^{2}$ (2);
$c - a = a^{2} - b^{2}$ (3);
$d - b = b^{2} - c^{2}$ (4).
Пусть $a \geq c$, тогда из (1) следует, что $c \geq d$, а из (3) следует, что $b \geq a$. Таким образом получим, что $b \geq a \geq c \geq d$. Но, если $b \geq d$, то из (2) следует, что $d \geq a$, а из (4) следует, что $c \geq b$, то есть $c \geq b \geq d \geq a$. Таким образом, выполняются неравенства: $a \geq c$ и $c \geq a$, то есть, $c = a$.
Тогда из неравенства $c \geq b \geq d \geq a$ следует, что $a = b = c = d$, откуда подстановкой в любое из данных уравнений получаем ответ. Случай, когда $a \leq с$ рассматривается аналогично и приводит к тому же ответу.
Второй способ. Вычтем из первого уравнения третье и преобразуем: $c^{2} - a^{2} = (a - c) + (b - d) \Leftrightarrow (c - a) (c + a + 1) = b - d$. Аналогично, вычитаем из второго уравнения четвертое: $d^{2} - b^{2} = (b - d) + (c - a) \Leftrightarrow (d - b)(d + b + 1) = c - a$. Из полученных уравнений следует, что $(d - b) (d + b + 1)(c + a + 1) = b - d$. Если $b \neq d$, то $(d + b + 1)(c + a + 1) = - 1$, a это уравнение положительных решений не имеет. Следовательно, $b = d$, a тогда из полученных ранее уравнений следует, что $c = a$. Таким образом, в исходной системе первое уравнение совпадет с третьим, а второе - с четвертым. Тогда получаем:
$\begin{cases} a + b = a^{2}, \\ b + a = b^{2}, \end{cases}$
то есть, $a = b$. Подставив этот результат в любое из уравнений, найдем ответ.
Ответ: $a = b = c = d = 2$.
Найдите все положительные решения системы уравнений
$\begin{cases} a + b = c^{2}, \\ b + c = d^{2}, \\ c + d = a^{2} , \\ d + a = b^{2} \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Вычитая из первого уравнения второе, из второго - третье, и т. д., получим, что:
$a - c = c^{2} - d^{2}$ (1);
$b - d = d^{2} - a^{2}$ (2);
$c - a = a^{2} - b^{2}$ (3);
$d - b = b^{2} - c^{2}$ (4).
Пусть $a \geq c$, тогда из (1) следует, что $c \geq d$, а из (3) следует, что $b \geq a$. Таким образом получим, что $b \geq a \geq c \geq d$. Но, если $b \geq d$, то из (2) следует, что $d \geq a$, а из (4) следует, что $c \geq b$, то есть $c \geq b \geq d \geq a$. Таким образом, выполняются неравенства: $a \geq c$ и $c \geq a$, то есть, $c = a$.
Тогда из неравенства $c \geq b \geq d \geq a$ следует, что $a = b = c = d$, откуда подстановкой в любое из данных уравнений получаем ответ. Случай, когда $a \leq с$ рассматривается аналогично и приводит к тому же ответу.
Второй способ. Вычтем из первого уравнения третье и преобразуем: $c^{2} - a^{2} = (a - c) + (b - d) \Leftrightarrow (c - a) (c + a + 1) = b - d$. Аналогично, вычитаем из второго уравнения четвертое: $d^{2} - b^{2} = (b - d) + (c - a) \Leftrightarrow (d - b)(d + b + 1) = c - a$. Из полученных уравнений следует, что $(d - b) (d + b + 1)(c + a + 1) = b - d$. Если $b \neq d$, то $(d + b + 1)(c + a + 1) = - 1$, a это уравнение положительных решений не имеет. Следовательно, $b = d$, a тогда из полученных ранее уравнений следует, что $c = a$. Таким образом, в исходной системе первое уравнение совпадет с третьим, а второе - с четвертым. Тогда получаем:
$\begin{cases} a + b = a^{2}, \\ b + a = b^{2}, \end{cases}$
то есть, $a = b$. Подставив этот результат в любое из уравнений, найдем ответ.
Ответ: $a = b = c = d = 2$.
