Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1313
2018-12-06 
Найдите все целые значения $m$ такие, что выражение $\frac{2m + 7}{5m + 11}$ принимает целые значения.
Решение:
Первый способ. Так как $(5m + 11) - (2m + 7) = 3m + 4 \geq 0$ при $m \geq - \frac{4}{3}$, то целые значения $m$, большие -2, решением задачи не являются (числитель меньше знаменателя). При $m = - 2$ данная дробь принимает целое значение 3. При $m = - 3$ данная дробь принимает значение $- \frac{1}{4}$. При целых $m \leq - 4$ числитель и знаменатель данной дроби - отрицательны, значит, $|5m + 11| - |2m + 7| = - 5m - 11 + 2m + 7 = -3m - 4 > 0$, то есть модуль числителя меньше модуля знаменателя, поэтому целых значений данная дробь принимать не может.
Второй способ. Данная дробь принимает целые значения, если модуль ее знаменателя равен 1 или ее можно сократить на выражение, равное модулю знаменателя. $|5m + 11| = 1$ при $m = - 2$ или $m = -2,4$. Выясним, при каких целых значениях т данная дробь сократима. Для этого, найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $НОД (5m + 11; 2m + 7) = НОД (2m + 7; m - 3) = НОД (m - 3; 13) = 13$, если $m - 3$ кратно 13 (в остальных случаях НОД равен 1 и дробь - не сократима). Таким образом данная дробь сократима тогда и только тогда, когда $m = 13k + 3$, где $k$ - целое число.
При найденных значениях $k$
$\frac{2m + 7}{5m + 11} = \frac{26k + 13}{65k + 26} = \frac{13(2k + 1)}{13(5k + 2)} = \frac{2k + 1}{5k + 2}$.
Так как $|5k + 2| \neq 1$ ни при каких целых значениях $k$, то других целых $m$, удовлетворяющих условию задачи, не существует.
Ответ: $m = - 2$.
Найдите все целые значения $m$ такие, что выражение $\frac{2m + 7}{5m + 11}$ принимает целые значения.
Решение:
Первый способ. Так как $(5m + 11) - (2m + 7) = 3m + 4 \geq 0$ при $m \geq - \frac{4}{3}$, то целые значения $m$, большие -2, решением задачи не являются (числитель меньше знаменателя). При $m = - 2$ данная дробь принимает целое значение 3. При $m = - 3$ данная дробь принимает значение $- \frac{1}{4}$. При целых $m \leq - 4$ числитель и знаменатель данной дроби - отрицательны, значит, $|5m + 11| - |2m + 7| = - 5m - 11 + 2m + 7 = -3m - 4 > 0$, то есть модуль числителя меньше модуля знаменателя, поэтому целых значений данная дробь принимать не может.
Второй способ. Данная дробь принимает целые значения, если модуль ее знаменателя равен 1 или ее можно сократить на выражение, равное модулю знаменателя. $|5m + 11| = 1$ при $m = - 2$ или $m = -2,4$. Выясним, при каких целых значениях т данная дробь сократима. Для этого, найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $НОД (5m + 11; 2m + 7) = НОД (2m + 7; m - 3) = НОД (m - 3; 13) = 13$, если $m - 3$ кратно 13 (в остальных случаях НОД равен 1 и дробь - не сократима). Таким образом данная дробь сократима тогда и только тогда, когда $m = 13k + 3$, где $k$ - целое число.
При найденных значениях $k$
$\frac{2m + 7}{5m + 11} = \frac{26k + 13}{65k + 26} = \frac{13(2k + 1)}{13(5k + 2)} = \frac{2k + 1}{5k + 2}$.
Так как $|5k + 2| \neq 1$ ни при каких целых значениях $k$, то других целых $m$, удовлетворяющих условию задачи, не существует.
Ответ: $m = - 2$.
