Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1312
2018-12-06 
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в $\Delta ABK$ и описанной около $\Delta ABC$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение:
Из условия следует, что центр О окружности описанной около $\Delta ABC$ лежит внутри этого треугольника. Кроме того, так как $OA = OB = OC$ и биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$, то $\angle OAB = \angle OBA = \angle OBC = \angle OCB = \alpha$ и $\angle OAC = \angle OCA$ (см. рис.), значит, $\angle BAC = \angle BCA$, то есть, $\Delta ABC$ - равнобедренный. Так как $AK$ - биссектриса $\angle BAC$, а $AO$ - биссектриса $\angle BAK$, то $\angle BAC = \angle BCA = 4 \alpha; \angle ABC = 2 \alpha$; тогда $4 \alpha + 4 \alpha + 2 \alpha = 180^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = 18^{ \circ}$.
Ответ: $\angle A = \angle C = 72^{ \circ}; \angle B = 36^{ \circ}$.
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в $\Delta ABK$ и описанной около $\Delta ABC$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение:
Из условия следует, что центр О окружности описанной около $\Delta ABC$ лежит внутри этого треугольника. Кроме того, так как $OA = OB = OC$ и биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$, то $\angle OAB = \angle OBA = \angle OBC = \angle OCB = \alpha$ и $\angle OAC = \angle OCA$ (см. рис.), значит, $\angle BAC = \angle BCA$, то есть, $\Delta ABC$ - равнобедренный. Так как $AK$ - биссектриса $\angle BAC$, а $AO$ - биссектриса $\angle BAK$, то $\angle BAC = \angle BCA = 4 \alpha; \angle ABC = 2 \alpha$; тогда $4 \alpha + 4 \alpha + 2 \alpha = 180^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = 18^{ \circ}$.
Ответ: $\angle A = \angle C = 72^{ \circ}; \angle B = 36^{ \circ}$.
