Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1311
2018-12-06 
Решите систему:
$\begin{cases} x + y + z = 0, \\ xy + yz + zx \geq 0. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Из уравнения системы следует, что $(x + y + z)^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + yz + zx) = 0$. Так как неравенство $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 0$ верно при всех $x, y$ и $z$, а неравенство $xy + yz + zx \geq 0$ выполняется по условию, то полученное равенство возможно тогда и только тогда, когда
$\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0, \\ xy + yz + xz = 0, \end{cases}$
что достигается только при $x = y = z = 0$.
Второй способ. Из условия следует, что:
$\begin{cases} - x = y + z, \\ x(y + z) + yz \geq 0, \end{cases}$
следовательно, $yz \geq - x(y + z) = x^{2}$, значит, $2yz \geq x^{2}$. Из первого уравнения последней системы получим, что $x^{2} = y^{2} + 2yz + z^{2}$, тогда $x^{2} \geq y^{2} + x^{2} + z^{2}$, то есть, $y = z = 0$, значит, и $x = 0$.
Ответ: $x = y = z = 0$.
Решите систему:
$\begin{cases} x + y + z = 0, \\ xy + yz + zx \geq 0. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Из уравнения системы следует, что $(x + y + z)^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + yz + zx) = 0$. Так как неравенство $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 0$ верно при всех $x, y$ и $z$, а неравенство $xy + yz + zx \geq 0$ выполняется по условию, то полученное равенство возможно тогда и только тогда, когда
$\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0, \\ xy + yz + xz = 0, \end{cases}$
что достигается только при $x = y = z = 0$.
Второй способ. Из условия следует, что:
$\begin{cases} - x = y + z, \\ x(y + z) + yz \geq 0, \end{cases}$
следовательно, $yz \geq - x(y + z) = x^{2}$, значит, $2yz \geq x^{2}$. Из первого уравнения последней системы получим, что $x^{2} = y^{2} + 2yz + z^{2}$, тогда $x^{2} \geq y^{2} + x^{2} + z^{2}$, то есть, $y = z = 0$, значит, и $x = 0$.
Ответ: $x = y = z = 0$.
