Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 131
2014-06-07 
Найти все значения $x \in [0, \pi/2]$, удовлетворяющие уравнению $\cos^{8} x + \sin^{80 x}= 97/128$.
Решение:
Преобразовывая левую часть уравнения, получаем
$\cos^{8} x + \sin^{8} x = \left (\frac{1+ \cos 2 x}{2} \right )^{4} + \left ( \frac{1- \cos 2 x}{2} \right )^{4} =$
$= \frac{1}{16} (2 + 12 \cos^{2}2x + 2 \cos^{4} 2x) = \frac{1}{32} (4 + 12(1 + \cos 4x) + (1 + \cos 4x)^{2})=$
$= \frac{1}{32} (\cos^{2} 4x + 14 \cos 4x+17)$.
Поэтому имеем (равносильное исходному) уравнение
$\cos^{2} 4x + 14 \cos 4x = 97/4 - 17=29/4$,
т.е.
$(\cos 4x + 29/2)(\cos 4x – 1/2) = 0$, или $\cos 4 x = 1/2$.
Учитывая, что $4x \in [0;2 \pi]$, имеем $4x \in {\pi / 3; 5 \pi /3}$. Таким образом, получаем ответ: $\pi / 12, 5 \pi / 12$.
Найти все значения $x \in [0, \pi/2]$, удовлетворяющие уравнению $\cos^{8} x + \sin^{80 x}= 97/128$.
Решение:
Преобразовывая левую часть уравнения, получаем
$\cos^{8} x + \sin^{8} x = \left (\frac{1+ \cos 2 x}{2} \right )^{4} + \left ( \frac{1- \cos 2 x}{2} \right )^{4} =$
$= \frac{1}{16} (2 + 12 \cos^{2}2x + 2 \cos^{4} 2x) = \frac{1}{32} (4 + 12(1 + \cos 4x) + (1 + \cos 4x)^{2})=$
$= \frac{1}{32} (\cos^{2} 4x + 14 \cos 4x+17)$.
Поэтому имеем (равносильное исходному) уравнение
$\cos^{2} 4x + 14 \cos 4x = 97/4 - 17=29/4$,
т.е.
$(\cos 4x + 29/2)(\cos 4x – 1/2) = 0$, или $\cos 4 x = 1/2$.
Учитывая, что $4x \in [0;2 \pi]$, имеем $4x \in {\pi / 3; 5 \pi /3}$. Таким образом, получаем ответ: $\pi / 12, 5 \pi / 12$.
