Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1309
2018-12-06 
Известно, что $a(1 - b) > \frac{1}{4}$, где $a$ и $b$ - положительные числа. Какое из чисел больше: $a$ или $b$?
Решение:
Так как $a > 0$, то из неравенства в условии следует, что $1 - b > 0$. Далее возможны различные способы.
Первый способ. Используем неравенство о средних: $\frac{a + (1 - b)}{2} \geq \sqrt{a(1 - b)} > \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{1}{2}$. Следовательно, $a + (1 - b) > 1 \Leftrightarrow a - b > 0 \Leftrightarrow a > b$
Второй способ. Из данного неравенства следует, что $a > \frac{1}{4(1 - b)}$. Поэтому, $a - b > \frac{1}{4(1 - b)} - b = \frac{1 - 4b + 4b^{2} }{4(1 - b)} = \frac{(1 - 2b)^{2} }{4(1 - b)} \geq 0$, то есть, $a > b$.
Ответ: $a > b$.
Известно, что $a(1 - b) > \frac{1}{4}$, где $a$ и $b$ - положительные числа. Какое из чисел больше: $a$ или $b$?
Решение:
Так как $a > 0$, то из неравенства в условии следует, что $1 - b > 0$. Далее возможны различные способы.
Первый способ. Используем неравенство о средних: $\frac{a + (1 - b)}{2} \geq \sqrt{a(1 - b)} > \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{1}{2}$. Следовательно, $a + (1 - b) > 1 \Leftrightarrow a - b > 0 \Leftrightarrow a > b$
Второй способ. Из данного неравенства следует, что $a > \frac{1}{4(1 - b)}$. Поэтому, $a - b > \frac{1}{4(1 - b)} - b = \frac{1 - 4b + 4b^{2} }{4(1 - b)} = \frac{(1 - 2b)^{2} }{4(1 - b)} \geq 0$, то есть, $a > b$.
Ответ: $a > b$.
