Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13074
2023-06-23 
Докажите, что если биссектрисы двух внутренних углов некоторого треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
Решение:
Для доказательства воспользуемся известными формулами, выражающими длины биссектрис через стороны треугольника:
$\frac{bc(a + b + c)(b + c - a)}{(b +c)^{2}} = \beta_{a}^{2} = \beta_{b}^{2} = \frac{ac(a + b +c)(c + a - b)}{(a + c)^{2}}$.
После упрощений мы приходим к
$c(a + b + c) (a - b) [(a + b) (c^{2} + ab) + 3abc + c^{3}] = 0$.
Поскольку все сомножители положительны, кроме $a - b$, отсюда следует, что $a = b$.
Этот метод применил Якоб Штейнер где-то около 1844 г.
Докажите, что если биссектрисы двух внутренних углов некоторого треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
Решение:
Для доказательства воспользуемся известными формулами, выражающими длины биссектрис через стороны треугольника:
$\frac{bc(a + b + c)(b + c - a)}{(b +c)^{2}} = \beta_{a}^{2} = \beta_{b}^{2} = \frac{ac(a + b +c)(c + a - b)}{(a + c)^{2}}$.
После упрощений мы приходим к
$c(a + b + c) (a - b) [(a + b) (c^{2} + ab) + 3abc + c^{3}] = 0$.
Поскольку все сомножители положительны, кроме $a - b$, отсюда следует, что $a = b$.
Этот метод применил Якоб Штейнер где-то около 1844 г.
