Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1307
2018-12-06 
Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данная трапеция, $M$ и $K$ - середины диагоналей (см. рис. а).
Через точку $B$ проведем прямую, параллельную $CD$, которая пересекает основание $AD$ в точке $E$. Так как $BCDE$ - параллелограмм, то $BE = CD = 8 см$. Тогда $AE = AD - ED = AD - BC$. Используем, что $MK = 0,5(AD - BC)$. (Этот факт можно доказать, продолжив отрезок $MK$, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения с одной из боковых сторон трапеции. Если $N$ - точка пересечения, то отрезки $KN$ и $MN$ являются средними линиями треугольников $ABD$ и $ABC$ соответственно.) По условию, $MK = 5 см$, значит, $AE = 10 см$. В треугольнике $ABE$ длины сторон равны б см, 8 см и 10 см, значит, $\Delta ABE$ - прямоугольный с прямым углом $B$ (по теореме, обратной теореме Пифагора). Пусть $P$ и $Q$ - середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Вычислить длину $PQ$ можно различными способами.
Первый способ. Рассмотрим четырехугольник $PKQM$ (см. рис. б). Его противолежащие стороны $PM$ и $KQ$ являются средними линиями треугольников $ABC$ и $ABD$ соответственно, значит, $PKQM$ - параллелограмм. Так как $PM \parallel AB, PK \parallel CD \parallel BE$ и $AB \perp BE$, то $PM \perp PK$, то есть, $PKQM$ - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $PQ = MK = 5 см$.
Второй способ. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $F$ (см. рис. в) и используем известный факт: прямая, проходящая через середины оснований трапеции содержит точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны (его можно доказать, используя либо векторы, либо подобие треугольников, либо гомотетию). По ранее доказанному, $\angle AFD = 90^{ \circ}$, следовательно, точки $P$ и $Q$ являются центрами описанных окружностей для прямоугольных треугольников $BFC$ и $AFD$ соответственно. Значит, $QF$ и $PF$ - радиусы этих окружностей, поэтому, $PQ = QF - PF = 0,5AD - 0,5BC = 0,5(AD - BC) = 5 (см)$.
Ответ: 5 см.
Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данная трапеция, $M$ и $K$ - середины диагоналей (см. рис. а).
Через точку $B$ проведем прямую, параллельную $CD$, которая пересекает основание $AD$ в точке $E$. Так как $BCDE$ - параллелограмм, то $BE = CD = 8 см$. Тогда $AE = AD - ED = AD - BC$. Используем, что $MK = 0,5(AD - BC)$. (Этот факт можно доказать, продолжив отрезок $MK$, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения с одной из боковых сторон трапеции. Если $N$ - точка пересечения, то отрезки $KN$ и $MN$ являются средними линиями треугольников $ABD$ и $ABC$ соответственно.) По условию, $MK = 5 см$, значит, $AE = 10 см$. В треугольнике $ABE$ длины сторон равны б см, 8 см и 10 см, значит, $\Delta ABE$ - прямоугольный с прямым углом $B$ (по теореме, обратной теореме Пифагора). Пусть $P$ и $Q$ - середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Вычислить длину $PQ$ можно различными способами.
Первый способ. Рассмотрим четырехугольник $PKQM$ (см. рис. б). Его противолежащие стороны $PM$ и $KQ$ являются средними линиями треугольников $ABC$ и $ABD$ соответственно, значит, $PKQM$ - параллелограмм. Так как $PM \parallel AB, PK \parallel CD \parallel BE$ и $AB \perp BE$, то $PM \perp PK$, то есть, $PKQM$ - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $PQ = MK = 5 см$.
Второй способ. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $F$ (см. рис. в) и используем известный факт: прямая, проходящая через середины оснований трапеции содержит точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны (его можно доказать, используя либо векторы, либо подобие треугольников, либо гомотетию). По ранее доказанному, $\angle AFD = 90^{ \circ}$, следовательно, точки $P$ и $Q$ являются центрами описанных окружностей для прямоугольных треугольников $BFC$ и $AFD$ соответственно. Значит, $QF$ и $PF$ - радиусы этих окружностей, поэтому, $PQ = QF - PF = 0,5AD - 0,5BC = 0,5(AD - BC) = 5 (см)$.
Ответ: 5 см.
