Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1306
2018-12-01 
Найдите все значения $a$, для которых выражения $a + \sqrt{15}$ и $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ принимают целые значения.
Решение:
Пусть $a + \sqrt{15} = m, \frac{1}{a} - \sqrt{15} = n$, где $m$ и $n$ - целые числа. Тогда, $a = m - \sqrt{15} = \frac{1}{n + \sqrt{15} }$, следовательно, $(m - \sqrt{15})(n + \sqrt{15}) = 1 \Leftrightarrow (m -n ) \sqrt{15} = 16 - mn$. Числа $16 - mn$ и $m - n$ являются целыми. Если $m \neq n$, то число $\frac{16 - mn}{m -n}$ является рациональным, значит, оно не может быть равным $\sqrt{15}$. Если $m = n$, то $16 - mn = 0$, следовательно, $m = n = \pm 4$.
Ответ: $a = 4 - \sqrt{15}$ или $a = -4 - \sqrt{15}$.
Найдите все значения $a$, для которых выражения $a + \sqrt{15}$ и $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ принимают целые значения.
Решение:
Пусть $a + \sqrt{15} = m, \frac{1}{a} - \sqrt{15} = n$, где $m$ и $n$ - целые числа. Тогда, $a = m - \sqrt{15} = \frac{1}{n + \sqrt{15} }$, следовательно, $(m - \sqrt{15})(n + \sqrt{15}) = 1 \Leftrightarrow (m -n ) \sqrt{15} = 16 - mn$. Числа $16 - mn$ и $m - n$ являются целыми. Если $m \neq n$, то число $\frac{16 - mn}{m -n}$ является рациональным, значит, оно не может быть равным $\sqrt{15}$. Если $m = n$, то $16 - mn = 0$, следовательно, $m = n = \pm 4$.
Ответ: $a = 4 - \sqrt{15}$ или $a = -4 - \sqrt{15}$.
