Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1305
2018-12-01 
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Решение:
Первый способ. Пусть время работы каждого из рабочих составляет $a, b$ и $c$ часов соответственно. Следовательно, яма была выкопана за $a + b + c$ часов. В случае совместной работы: за первые $a$ часов первый рабочий выкопает свою долю от «общей» ямы, а двое других могли бы выкопать еще половину ямы. За следующие $b$ часов свою часть работы сделает второй, а остальные также могли выкопать половину ямы. И, наконец, за $c$ часов третий рабочий сделает свою часть работы, а двое остальных - еще половину ямы. Следовательно, за $a + b + c$ часов могло быть выкопано 2,5 ямы. Значит, работая одновременно, они выкопали бы такую же яму в 2,5 раза быстрее.
Второй способ. Пусть производительность каждого из рабочих равна $x, y$ и $z$ ям за час соответственно. Тогда, время работы каждого из них соответственно равно: $\frac{0,5}{y + z}, \frac{0,5}{x + z}$ и $\frac{0,5}{x + y}$ часов. То есть, они выкопали яму за время $T = \frac{0,5}{y + z} + \frac{0,5}{x + z} + \frac{0,5}{x + y}$ (часов). При этом, первый рабочий выкопал $\frac{0,5x}{y + z}$ ямы, второй $- \frac{0,5y}{x + z}$ ямы, а третий - $\frac{0,5x}{x + y}$ ямы. Так как, работая таким образом, они выкопали яму, то $\frac{0,5x}{y + z} + \frac{0,5y}{x + z} + \frac{0,5z}{x + y} = 1$. В случае совместной работы, время выкапывания ямы составит: $t = \frac{1}{x + y + z}$ часов. Используя это, преобразуем составленное уравнение:
$\frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} = 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y + z} + 1 + \frac{y}{x + z} + 1 + \frac{z}{x + y} + 1 = 2 + 3 \Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z } + \frac{y + x + z}{x + z} + \frac{z + x + y}{x + y} = 5 \Leftrightarrow (x + y + z) \left ( \frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + z} + \frac{1}{x + y} \right ) = 5$.
Знамит, $\frac{1}{t} 2T = 5$, то есть, $T : t = 2,5$.
Ответ: в 2,5 раза.
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Решение:
Первый способ. Пусть время работы каждого из рабочих составляет $a, b$ и $c$ часов соответственно. Следовательно, яма была выкопана за $a + b + c$ часов. В случае совместной работы: за первые $a$ часов первый рабочий выкопает свою долю от «общей» ямы, а двое других могли бы выкопать еще половину ямы. За следующие $b$ часов свою часть работы сделает второй, а остальные также могли выкопать половину ямы. И, наконец, за $c$ часов третий рабочий сделает свою часть работы, а двое остальных - еще половину ямы. Следовательно, за $a + b + c$ часов могло быть выкопано 2,5 ямы. Значит, работая одновременно, они выкопали бы такую же яму в 2,5 раза быстрее.
Второй способ. Пусть производительность каждого из рабочих равна $x, y$ и $z$ ям за час соответственно. Тогда, время работы каждого из них соответственно равно: $\frac{0,5}{y + z}, \frac{0,5}{x + z}$ и $\frac{0,5}{x + y}$ часов. То есть, они выкопали яму за время $T = \frac{0,5}{y + z} + \frac{0,5}{x + z} + \frac{0,5}{x + y}$ (часов). При этом, первый рабочий выкопал $\frac{0,5x}{y + z}$ ямы, второй $- \frac{0,5y}{x + z}$ ямы, а третий - $\frac{0,5x}{x + y}$ ямы. Так как, работая таким образом, они выкопали яму, то $\frac{0,5x}{y + z} + \frac{0,5y}{x + z} + \frac{0,5z}{x + y} = 1$. В случае совместной работы, время выкапывания ямы составит: $t = \frac{1}{x + y + z}$ часов. Используя это, преобразуем составленное уравнение:
$\frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} = 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y + z} + 1 + \frac{y}{x + z} + 1 + \frac{z}{x + y} + 1 = 2 + 3 \Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z } + \frac{y + x + z}{x + z} + \frac{z + x + y}{x + y} = 5 \Leftrightarrow (x + y + z) \left ( \frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + z} + \frac{1}{x + y} \right ) = 5$.
Знамит, $\frac{1}{t} 2T = 5$, то есть, $T : t = 2,5$.
Ответ: в 2,5 раза.
