2023-06-21
Совет директоров одной крупной компании состоит из 15 человек, которые одновременно должны войти в состав 20 комитетов при этом совете. Комитеты требуется составить таким образом, чтобы:
1) каждый директор входил в 4 комитета;
2) в каждый комитет входило по 3 директора;
3) никакие два комитета не содержали бы более одного директора, входящего одновременно в оба эти комитета.
Решение:
Представим директоров с помощью вершин, центра и центров граней некоторого куба. Шестнадцать комитетов изобразим как диагонали этого куба и диагонали его граней, причем каждый директор окажется в четырех комитетах, за исключением тех директоров, которым соответствуют центры граней. Но эти центры служат вершинами октаэдра, и мы можем в качестве новых комитетов взять перемежающиеся треугольные грани этого октаэдра.