Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1304
2018-12-01 
К окружности с диаметром $AC$ проведена касательная $BC$. Отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $D$. Через точку $D$ проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок $BC$ в точке $K$. В каком отношении точка $K$ разделила отрезок $BC$?
Решение:
Так как $\angle ADC$ - вписанный и опирается на диаметр окружности, то $\angle ADC = 90^{ \circ}$, значит, $\Delta BDC$ - прямоугольный. $KD = KC$, так как они являются отрезками касательных к окружности, проведенными из одной точки (см. рис.). $\angle DCK = \angle CDK = \alpha$, тогда, $\angle DBC = 90^{ \circ} - \angle DCK = 90^{ \circ} - \alpha; \angle KDB = 90^{ \circ} - \angle CDK = 90^{ \circ} - \alpha$, следовательно, $KD = KB$. Таким образом, $KC = KB$, то есть, $K$ - середина $BC$.
Равенство углов $DBC$ и $KDB$ можно также доказать, используя равенство других углов: $\angle DAC = \angle KDC$ ($\angle DAC$ - вписанный, опирающийся на дугу $DC$, а $\angle KDC$ - между касательной и хордой, стягивающей эту же дугу).
Ответ: 1 : 1.
К окружности с диаметром $AC$ проведена касательная $BC$. Отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $D$. Через точку $D$ проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок $BC$ в точке $K$. В каком отношении точка $K$ разделила отрезок $BC$?
Решение:
Так как $\angle ADC$ - вписанный и опирается на диаметр окружности, то $\angle ADC = 90^{ \circ}$, значит, $\Delta BDC$ - прямоугольный. $KD = KC$, так как они являются отрезками касательных к окружности, проведенными из одной точки (см. рис.). $\angle DCK = \angle CDK = \alpha$, тогда, $\angle DBC = 90^{ \circ} - \angle DCK = 90^{ \circ} - \alpha; \angle KDB = 90^{ \circ} - \angle CDK = 90^{ \circ} - \alpha$, следовательно, $KD = KB$. Таким образом, $KC = KB$, то есть, $K$ - середина $BC$.
Равенство углов $DBC$ и $KDB$ можно также доказать, используя равенство других углов: $\angle DAC = \angle KDC$ ($\angle DAC$ - вписанный, опирающийся на дугу $DC$, а $\angle KDC$ - между касательной и хордой, стягивающей эту же дугу).
Ответ: 1 : 1.
