Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1302
2018-12-01 
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{ \circ}$, $AM$ и $CN$ - его высоты, a $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ - равносторонний.
Решение:
В прямоугольных треугольниках $AMC$ и $ANC$ (см. рис.) $Q$ - середина гипотенузы $AC$, значит, медианы $QM$ и $QN$ этих треугольников равны половине $AC$, то есть, равны между собой. Вычислим угол $MQN$.
Первый способ. Так как $QM = QN = 0,5AC$, то точки $M$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC. \angle BAM = 90^{ \circ} - \angle ABC = 30^{ \circ}$ (из прямоугольного треугольника $AMB$). $\angle MQN = 2 \angle MAN = 60^{ \circ}$, так как $\angle MQN$ - центральный, a $\angle MAN$ - вписанный, и они опираются на одну и ту же дугу окружности.
Второй способ. $\angle MQN = 180^{ \circ} - ( \angle AQN + \angle CQM)$. Так как треугольники $AQN$ и $CQM$ - равнобедренные, то $\angle AQN = 180^{ \circ} - 2 \angle CAB; \angle CQM = 190^{ \circ} - 2 \angle ACB. \angle AQN + \angle CQM = 360^{ \circ} - 2( \angle CAB + \angle ACB ) = 360^{ \circ} - 2(180^{ \circ} - \angle ABC) = 120^{ \circ}$, значит, $\angle MQN = 60^{ \circ}$. Следовательно, $\Delta MQN$ - равнобедренный с углом $60^{ \circ}$, то есть, $\Delta MQN$ - равносторонний, что и требовалось доказать.
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{ \circ}$, $AM$ и $CN$ - его высоты, a $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ - равносторонний.
Решение:
В прямоугольных треугольниках $AMC$ и $ANC$ (см. рис.) $Q$ - середина гипотенузы $AC$, значит, медианы $QM$ и $QN$ этих треугольников равны половине $AC$, то есть, равны между собой. Вычислим угол $MQN$.
Первый способ. Так как $QM = QN = 0,5AC$, то точки $M$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC. \angle BAM = 90^{ \circ} - \angle ABC = 30^{ \circ}$ (из прямоугольного треугольника $AMB$). $\angle MQN = 2 \angle MAN = 60^{ \circ}$, так как $\angle MQN$ - центральный, a $\angle MAN$ - вписанный, и они опираются на одну и ту же дугу окружности.
Второй способ. $\angle MQN = 180^{ \circ} - ( \angle AQN + \angle CQM)$. Так как треугольники $AQN$ и $CQM$ - равнобедренные, то $\angle AQN = 180^{ \circ} - 2 \angle CAB; \angle CQM = 190^{ \circ} - 2 \angle ACB. \angle AQN + \angle CQM = 360^{ \circ} - 2( \angle CAB + \angle ACB ) = 360^{ \circ} - 2(180^{ \circ} - \angle ABC) = 120^{ \circ}$, значит, $\angle MQN = 60^{ \circ}$. Следовательно, $\Delta MQN$ - равнобедренный с углом $60^{ \circ}$, то есть, $\Delta MQN$ - равносторонний, что и требовалось доказать.
