Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1301
2018-12-01 
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} 1 - x_{1}x_{2} = 0, \\ 1 - x_{2}x_{3} = 0, \\ \cdots \\ 1 - x_{2000}x_{2001} = 0, \\ 1 - x_{2001}x_{1} = 0. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Заметим, что $x_{1}x_{2} = 1, x_{2}x_{3} = 1, \cdots , x_{2001} x_{1} = 1$. Следовательно, $x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001}^{2} = 1$, откуда $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001} = 1$, или $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001} = - 1$. Так как $x_{1}x_{2} = 1, x_{3}x_{4} = 1, \cdots , x_{1999}x_{2000} = 1$ то $x_{2001} = 1$ или $x_{2001} = -1$. Далее последовательно находим: $x_{1}, x_{2}$ и т. д. Получим: $x_{2001} = x_{2000} = \cdots = x_{1} = 1$ или $x_{2001} = x_{2000} = \cdots = x_{1} = - 1$.
Второй способ. $x_{1} = 1 / x_{2}; x_{2} = 1/x_{3}; \cdots ; x_{2000} = 1/x_{2001}$. Следовательно, значения всех переменных с нечетными индексами равны между собой и значения всех переменных с четными индексами равны между собой, при этом, все переменные принимают значения одного знака. Из последнего уравнения следует, что $x_{1} = 1/x_{2001}$ то есть, $x_{1} = x_{2001} = \pm 1$. Тогда, из первого уравнения получим, что $x_{2} = \pm 1$, и т. д. Таким образом, значение каждой из переменных либо равно 1, либо равно -1.
Ответ: (1; 1;...; 1); (-1; -1;...; -1).
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} 1 - x_{1}x_{2} = 0, \\ 1 - x_{2}x_{3} = 0, \\ \cdots \\ 1 - x_{2000}x_{2001} = 0, \\ 1 - x_{2001}x_{1} = 0. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Заметим, что $x_{1}x_{2} = 1, x_{2}x_{3} = 1, \cdots , x_{2001} x_{1} = 1$. Следовательно, $x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001}^{2} = 1$, откуда $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001} = 1$, или $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{2001} = - 1$. Так как $x_{1}x_{2} = 1, x_{3}x_{4} = 1, \cdots , x_{1999}x_{2000} = 1$ то $x_{2001} = 1$ или $x_{2001} = -1$. Далее последовательно находим: $x_{1}, x_{2}$ и т. д. Получим: $x_{2001} = x_{2000} = \cdots = x_{1} = 1$ или $x_{2001} = x_{2000} = \cdots = x_{1} = - 1$.
Второй способ. $x_{1} = 1 / x_{2}; x_{2} = 1/x_{3}; \cdots ; x_{2000} = 1/x_{2001}$. Следовательно, значения всех переменных с нечетными индексами равны между собой и значения всех переменных с четными индексами равны между собой, при этом, все переменные принимают значения одного знака. Из последнего уравнения следует, что $x_{1} = 1/x_{2001}$ то есть, $x_{1} = x_{2001} = \pm 1$. Тогда, из первого уравнения получим, что $x_{2} = \pm 1$, и т. д. Таким образом, значение каждой из переменных либо равно 1, либо равно -1.
Ответ: (1; 1;...; 1); (-1; -1;...; -1).
