ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
При каждом значении $a \in \mathbf{R}$ решить уравнение
$(a-1) \left ( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x \cos x} \right ) = 2$.


Решение:


Преобразовывая левую часть уравнения, получаем
$(a-1) \left ( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} +\frac{1}{\sin x \cos x} \right ) = (a - 1) \left ( \frac{ \cos x + \sin x +1}{\sin x \cos x} \right ) =$
$ = (a -1) \left ( \frac{\sqrt{2} \sin (x + \pi/4) +1}{\sin^{2}(x+ \pi /4) - \frac{1}{2}} \right )$, т.е. $\sin^{2} (x + \pi/4) \neq 1/2$.
Следовательно,
$\frac{2(a-1)}{\sqrt{2} \sin (x + \pi /4) -1} = 2$ или $\sin ( x + \pi /4) = a /\sqrt{2} \neq \pm 1 / \sqrt{2}$.
Последнее соотношение не имеет решений при $|a| > \sqrt{2}$ или при $|a| = 1$, а при остальных значениях $a$ имеет решение. Таким образом, в случае $|a| \in {1}\bigcup (\sqrt{2}; + \infty)$ исходное уравнение решений не имеет. Если же $|a| \in [0;1) \bigcup (1; \sqrt{2}]$, то исходное уравнение имеет решения
$x = (-1)^{n} arcsin \: (a \sqrt{2} /2) - \pi /4 + \pi n$,
где $n \in \mathbf{Z}$ при $|a| \in [0;1) \bigcup (1; \sqrt{2}]$ и $n/2 \in \mathbf{Z}$ при $|a| = \sqrt{2}$.