Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1299
2018-12-01 
Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше, чем сумма длин всех сторон?
Решение:
Любая диагональ выпуклого четырехугольника $ABCD$ разбивает его на два треугольника (см. рис.). Применим к каждому из треугольников $ABC, ADC, ABD$ и $CBD$ неравенство треугольника:
$AB + BC > AC; AD + CD > AC; AB + AD > BD; BC + CD > BD$.
Сложив эти неравенства почленно, получим: $2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)$. Следовательно, сумма длин диагоналей четырехугольника меньше его периметра.
Ответ: не существует.
Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше, чем сумма длин всех сторон?
Решение:
Любая диагональ выпуклого четырехугольника $ABCD$ разбивает его на два треугольника (см. рис.). Применим к каждому из треугольников $ABC, ADC, ABD$ и $CBD$ неравенство треугольника:
$AB + BC > AC; AD + CD > AC; AB + AD > BD; BC + CD > BD$.
Сложив эти неравенства почленно, получим: $2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)$. Следовательно, сумма длин диагоналей четырехугольника меньше его периметра.
Ответ: не существует.
