Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1297
2018-12-01 
Найдите все целые $a$ и $b$ такие, что $a^{4} + 4b^{4}$ является простым числом.
Решение:
$a^{4} + 4b^{4} = (a^{4} + 4a^{2}b^{2} + 4b^{2}) - 4a^{2}b^{2} = (a^{2} + 2b^{2})^{2} - (2ab)^{2} = (a^{2} - 2 ab + 2b^{2})(a^{2} + 2ab + 2b^{2}) = ((a - b)^{2} + b^{2})((a + b)^{2} + b^{2})$.
Для того, чтобы полученное произведение было простым числом, необходимо, чтобы один из множителей был равен 1. Учитывая, что числа $a$ и $b$ - целые, получим:
$\begin{cases} a = b, \\ b = \pm 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} a = - b, \\ b = \pm 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} b = 0, \\ a = \pm 1 \end{cases}$
В последнем случае, оба множителя принимают значение, равное 1, поэтому произведение не является простым числом. В остальных случаях, один из множителей равен единице, а другой - пяти, то есть, произведение равно 5.
Ответ: $a = \pm 1, b = \pm 1$ (четыре пары).
Найдите все целые $a$ и $b$ такие, что $a^{4} + 4b^{4}$ является простым числом.
Решение:
$a^{4} + 4b^{4} = (a^{4} + 4a^{2}b^{2} + 4b^{2}) - 4a^{2}b^{2} = (a^{2} + 2b^{2})^{2} - (2ab)^{2} = (a^{2} - 2 ab + 2b^{2})(a^{2} + 2ab + 2b^{2}) = ((a - b)^{2} + b^{2})((a + b)^{2} + b^{2})$.
Для того, чтобы полученное произведение было простым числом, необходимо, чтобы один из множителей был равен 1. Учитывая, что числа $a$ и $b$ - целые, получим:
$\begin{cases} a = b, \\ b = \pm 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} a = - b, \\ b = \pm 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} b = 0, \\ a = \pm 1 \end{cases}$
В последнем случае, оба множителя принимают значение, равное 1, поэтому произведение не является простым числом. В остальных случаях, один из множителей равен единице, а другой - пяти, то есть, произведение равно 5.
Ответ: $a = \pm 1, b = \pm 1$ (четыре пары).
