Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1296
2018-12-01 
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до всех вершин и до всех сторон треугольника - наименьшая.
Решение:
Искомой точкой является ортоцентр треугольника (точка пересечения его высот), который лежит внутри данного треугольника, так как, по условию, он - остроугольный. Предположим, что это не так, выберем точку $M$ внутри данного треугольника $ABC$, не совпадающую с его ортоцентром $H$, и рассмотрим сумму расстояний от точки $M$ до всех вершин и до всех сторон треугольника (см. рис.). Попарно сгруппировав длины отрезков, применяя неравенство треугольника и используя то, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, получим:
$MA + MB + MC + MP + MK + ML = (MA + MP) + (MB + MK) + (MC + ML) > AP + BK + CL > AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} = HA + HA_{1} + HB + HB_{1} + HC + HC_{1}$.
Отметим, что если точка $M$ принадлежит какой-либо из высот треугольника, то все записанные соотношения также будут верны.
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до всех вершин и до всех сторон треугольника - наименьшая.
Решение:
Искомой точкой является ортоцентр треугольника (точка пересечения его высот), который лежит внутри данного треугольника, так как, по условию, он - остроугольный. Предположим, что это не так, выберем точку $M$ внутри данного треугольника $ABC$, не совпадающую с его ортоцентром $H$, и рассмотрим сумму расстояний от точки $M$ до всех вершин и до всех сторон треугольника (см. рис.). Попарно сгруппировав длины отрезков, применяя неравенство треугольника и используя то, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, получим:
$MA + MB + MC + MP + MK + ML = (MA + MP) + (MB + MK) + (MC + ML) > AP + BK + CL > AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} = HA + HA_{1} + HB + HB_{1} + HC + HC_{1}$.
Отметим, что если точка $M$ принадлежит какой-либо из высот треугольника, то все записанные соотношения также будут верны.
