Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1295
2018-12-01 
При каких значениях $a$ уравнения $x^{3} + ax + 1 = 0$ и $x^{4} + ax^{2} + 1 = 0$ имеют хотя бы один общий корень?
Решение:
Пусть $x_{0}$ - общий корень данных уравнений, причем $x_{0} \neq 0$, в чем легко убедится непосредственной проверкой. Подставим число $x_{0}$ в каждое из уравнений, умножим обе части первого из получившихся верных равенств на $x_{0}$ и вычтем второе равенство. Получим, что $x_{0} = 1$, то есть, если данные уравнения имеют общий корень при каких-то значениях $a$, то он равен 1. Подставив $x = 1$ в любое из уравнений, получим, что $a = - 2$, то есть, для того чтобы число 1 являлось общим корнем данных уравнений, необходимо, чтобы $a = -2$. Достаточность этого условия проверяется подстановкой $x = 1$ и $a = -2$ в другое уравнение.
Ответ: при $a = - 2$.
При каких значениях $a$ уравнения $x^{3} + ax + 1 = 0$ и $x^{4} + ax^{2} + 1 = 0$ имеют хотя бы один общий корень?
Решение:
Пусть $x_{0}$ - общий корень данных уравнений, причем $x_{0} \neq 0$, в чем легко убедится непосредственной проверкой. Подставим число $x_{0}$ в каждое из уравнений, умножим обе части первого из получившихся верных равенств на $x_{0}$ и вычтем второе равенство. Получим, что $x_{0} = 1$, то есть, если данные уравнения имеют общий корень при каких-то значениях $a$, то он равен 1. Подставив $x = 1$ в любое из уравнений, получим, что $a = - 2$, то есть, для того чтобы число 1 являлось общим корнем данных уравнений, необходимо, чтобы $a = -2$. Достаточность этого условия проверяется подстановкой $x = 1$ и $a = -2$ в другое уравнение.
Ответ: при $a = - 2$.
