Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1293
2018-12-01 
Две противоположные стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон $BC$ и $AD$ равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей $AC$ и $BD$.
Решение:
Пусть $E$ и $F$ - середины сторон $BC$ и $AD$, а $M$ и $K$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ (см. рис.).
Первый способ. Соединим последовательно точки $K, F, M$ и $E$. Так как отрезок $KF$ является средней линией треугольника $DBA$, то $KF \parallel AB$ и $KF = 0,5AB$. Аналогично, $EM$ - средняя линия треугольника $CAB$, значит, $EM \parallel AB$ и $EM = 0,5AB$. Следовательно, $KF \parallel EM$ и $KF = EM$, то есть, четырехугольник $KFME$ - параллелограмм. Так как $KE$ - средняя линия треугольника $DBC$, то $KE \parallel DC$. По условию, $AB \perp CD$, а по ранее доказанному, $KF \parallel AB$, следовательно, $KE \perp KF$, то есть, $KFME$ - прямоугольник. Используя равенство диагоналей прямоугольника, получим: $MK = EF = 5$.
Второй способ. Рассмотрим декартову систему координат: $O(0; 0)$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$; $AB$ - ось $x$; $CD$ - ось $y$. Тогда, $A(a;0); B(b; 0); O(0; c); D(0; d)$. Используя формулу для вычисления координат середины отрезка, получим, что $E(0,5b; 0,5c); 0(0,5a; 0,5d); M(0,5a; 0,5c); K(0,5b; 0,5d)$. Применив формулу для вычисления расстояния между точками на координатной плоскости ($PQ = \sqrt{(x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2}}$), получим, что $MK = EF = 5$.
Ответ: 5.
Две противоположные стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон $BC$ и $AD$ равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей $AC$ и $BD$.
Решение:
Пусть $E$ и $F$ - середины сторон $BC$ и $AD$, а $M$ и $K$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ (см. рис.).
Первый способ. Соединим последовательно точки $K, F, M$ и $E$. Так как отрезок $KF$ является средней линией треугольника $DBA$, то $KF \parallel AB$ и $KF = 0,5AB$. Аналогично, $EM$ - средняя линия треугольника $CAB$, значит, $EM \parallel AB$ и $EM = 0,5AB$. Следовательно, $KF \parallel EM$ и $KF = EM$, то есть, четырехугольник $KFME$ - параллелограмм. Так как $KE$ - средняя линия треугольника $DBC$, то $KE \parallel DC$. По условию, $AB \perp CD$, а по ранее доказанному, $KF \parallel AB$, следовательно, $KE \perp KF$, то есть, $KFME$ - прямоугольник. Используя равенство диагоналей прямоугольника, получим: $MK = EF = 5$.
Второй способ. Рассмотрим декартову систему координат: $O(0; 0)$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$; $AB$ - ось $x$; $CD$ - ось $y$. Тогда, $A(a;0); B(b; 0); O(0; c); D(0; d)$. Используя формулу для вычисления координат середины отрезка, получим, что $E(0,5b; 0,5c); 0(0,5a; 0,5d); M(0,5a; 0,5c); K(0,5b; 0,5d)$. Применив формулу для вычисления расстояния между точками на координатной плоскости ($PQ = \sqrt{(x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2}}$), получим, что $MK = EF = 5$.
Ответ: 5.
