Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1291
2018-12-01 
В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана окружность. Найдите ее радиус.
Решение:
Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$ и окружность с центром О и радиусом $r$, вписанную в нее.
Первый способ. Окружность касается оснований трапеции в их серединах, $K$ - точка касания окружности с боковой стороной $AB$ (см. рис. а). По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, $AK = \frac{1}{2} AD = 9 см, BK = \frac{1}{2} BC = 4 см, \angle AOB = 90^{ \circ}$, так как образован биссектрисами углов, сумма величин которых равна $180^{ \circ}. OK$ - высота прямоугольного треугольника $AOB$, проведенная к гипотенузе. Её длина равна среднему геометрическому длин отрезков $AK$ и $BK$, то есть, $OK = r = 6 см$.
Второй способ. По свойству описанного четырехугольника $AB = CD = BC + AD$, следовательно, $AB = CD = (BC + AD) : 2 = 13 см$. Проведем высоты трапеции BE и CF (см. рис. 376). АЕ = DF = (AD - - ВС) : 2 = 5 см. Применив теорему Пифагора для любого из треугольников $ABE$ или $CDF$, получим, что высота трапеции равна 12 см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть, 6 см.
Ответ: 6 см.
В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана окружность. Найдите ее радиус.
Решение:
Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$ и окружность с центром О и радиусом $r$, вписанную в нее.
Первый способ. Окружность касается оснований трапеции в их серединах, $K$ - точка касания окружности с боковой стороной $AB$ (см. рис. а). По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, $AK = \frac{1}{2} AD = 9 см, BK = \frac{1}{2} BC = 4 см, \angle AOB = 90^{ \circ}$, так как образован биссектрисами углов, сумма величин которых равна $180^{ \circ}. OK$ - высота прямоугольного треугольника $AOB$, проведенная к гипотенузе. Её длина равна среднему геометрическому длин отрезков $AK$ и $BK$, то есть, $OK = r = 6 см$.
Второй способ. По свойству описанного четырехугольника $AB = CD = BC + AD$, следовательно, $AB = CD = (BC + AD) : 2 = 13 см$. Проведем высоты трапеции BE и CF (см. рис. 376). АЕ = DF = (AD - - ВС) : 2 = 5 см. Применив теорему Пифагора для любого из треугольников $ABE$ или $CDF$, получим, что высота трапеции равна 12 см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть, 6 см.
Ответ: 6 см.
