Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1290
2018-12-01 
Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AD$ и $BC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AB \perp PQ$.
Решение:
1) Пусть точки $C$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ (см. рис. а). Тогда, $BC$ и $AD$ - высоты треугольника $APB$, так как $\angle ACB = \angle ADB = 90^{ \circ}$ (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). $Q$ - точка пересечения высот треугольника $APB$, значит, третья высота этого треугольника принадлежит прямой $PQ$, то есть, $AB \perp PQ$, что и требовалось доказать. При другом порядке расположения точек $C$ и $D$ в той же полуплоскости меняются «ролями» точки $P$ и $Q$.
2) В случае, если точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$, меняются «ролями» прямые $AB$ и $PQ$ (см., например, рис. б). Доказательство для данного случая проводится аналогично.
Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AD$ и $BC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AB \perp PQ$.
Решение:
1) Пусть точки $C$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ (см. рис. а). Тогда, $BC$ и $AD$ - высоты треугольника $APB$, так как $\angle ACB = \angle ADB = 90^{ \circ}$ (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). $Q$ - точка пересечения высот треугольника $APB$, значит, третья высота этого треугольника принадлежит прямой $PQ$, то есть, $AB \perp PQ$, что и требовалось доказать. При другом порядке расположения точек $C$ и $D$ в той же полуплоскости меняются «ролями» точки $P$ и $Q$.
2) В случае, если точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$, меняются «ролями» прямые $AB$ и $PQ$ (см., например, рис. б). Доказательство для данного случая проводится аналогично.
