Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1289
2018-12-01 
Найдите наибольшее число, составленное из различных цифр (в десятичной записи) и делящееся на любую свою цифру.
Решение:
Среди цифр искомого числа не может быть нуля (на нуль делить нельзя), поэтому искомое число - не более чем девятизначное. Для того, чтобы оно делилось на 5, необходимо, чтобы его десятичная запись оканчивалась этой цифрой, но тогда это число не будет делится на четные цифры, то есть будет не более чем пятизначным. Поэтому исключаем цифру 5, и рассматриваем числа, составленные из остальных цифр. Если число - восьмизначное и не содержит цифр 0 и 5, то сумма его цифр равна 40, то есть оно не делится ни на 3, ни на 9 и будет в этом случае не более чем шестизначным. Следовательно, нам выгоднее исключить одну цифру так, чтобы оставшаяся сумма цифр делилась на 9.
Поэтому исключаем цифру 4 и рассматриваем четные семизначные числа, составленные из различных цифр, кроме 0, 5 и 4. Наибольшее среди таких чисел - 9876312, его сумма цифр равна 36, поэтому оно делится на 9 и на 3. Так как 312 делится на 8, то рассматриваемое число также делится на 8. На 6 оно делится потому, что делится на 2 и на 3. Но это число не делится на 7. Значит надо так переставить цифры этого числа, чтобы сохранить делимость на 8 и добавить делимость на 7, при этом затрагивая как можно меньше старших разрядов.
Так как 132 не делится на 8, то придется переставлять по крайней мере четыре последние цифры. Составляя таким образом числа, делящиеся на 8 (9872316, 9872136, 9871632), непосредственной проверкой убеждаемся, что они не делятся на 7. Поэтому, требуемая перестановка должна коснуться и разряда десятков тысяч.
Наибольшим среди чисел, получаемых такой перестановкой, является число 9867312. Оно делится на 7 (9867312 : 7 = 1409616), и при такой перестановке сохраняется делимость на остальные цифры.
Ответ: 9867312.
Найдите наибольшее число, составленное из различных цифр (в десятичной записи) и делящееся на любую свою цифру.
Решение:
Среди цифр искомого числа не может быть нуля (на нуль делить нельзя), поэтому искомое число - не более чем девятизначное. Для того, чтобы оно делилось на 5, необходимо, чтобы его десятичная запись оканчивалась этой цифрой, но тогда это число не будет делится на четные цифры, то есть будет не более чем пятизначным. Поэтому исключаем цифру 5, и рассматриваем числа, составленные из остальных цифр. Если число - восьмизначное и не содержит цифр 0 и 5, то сумма его цифр равна 40, то есть оно не делится ни на 3, ни на 9 и будет в этом случае не более чем шестизначным. Следовательно, нам выгоднее исключить одну цифру так, чтобы оставшаяся сумма цифр делилась на 9.
Поэтому исключаем цифру 4 и рассматриваем четные семизначные числа, составленные из различных цифр, кроме 0, 5 и 4. Наибольшее среди таких чисел - 9876312, его сумма цифр равна 36, поэтому оно делится на 9 и на 3. Так как 312 делится на 8, то рассматриваемое число также делится на 8. На 6 оно делится потому, что делится на 2 и на 3. Но это число не делится на 7. Значит надо так переставить цифры этого числа, чтобы сохранить делимость на 8 и добавить делимость на 7, при этом затрагивая как можно меньше старших разрядов.
Так как 132 не делится на 8, то придется переставлять по крайней мере четыре последние цифры. Составляя таким образом числа, делящиеся на 8 (9872316, 9872136, 9871632), непосредственной проверкой убеждаемся, что они не делятся на 7. Поэтому, требуемая перестановка должна коснуться и разряда десятков тысяч.
Наибольшим среди чисел, получаемых такой перестановкой, является число 9867312. Оно делится на 7 (9867312 : 7 = 1409616), и при такой перестановке сохраняется делимость на остальные цифры.
Ответ: 9867312.
