Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1288
2018-12-01 
Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.
Решение:
Пусть $x, y$ и $z$ - числа, записанные учительницей. Тогда числа, записанные Димой, в каком-то порядке равны $\frac{2}{3}x; \frac{5}{4}y$ и $\frac{4}{5}z$. Предположим, что Дима не ошибся. Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. Произведение чисел, записанных Димой, должно быть равно произведению чисел, записанных учительницей, то есть $\frac{2}{3}x \cdot \frac{5}{4}y \cdot \frac{4}{5} z = xyz$. Так как $xyz \neq 0$ и $\frac{2}{3} \frac{5}{4} \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \neq 1$, то записанное равенство выполняться не может.
Второй способ. Учитывая, что среди записанных чисел нет нулей, получим два варианта возможных равенств: 1)$x = \frac{5}{4}y; y = \frac{4}{5}z$ и $z = \frac{2}{3} x$; 2) $z = \frac{5}{4}y; x = \frac{4}{5}z$ и $y = \frac{2}{3}x$.
1) Из первого равенства следует, что $4x = 5y$, а из второго - что $5y = 4z$, поэтому $x = z$, что противоречит третьему равенству.
2) Из первого равенства следует, что $4z = 5y$, а из второго - что $5x = 4z$, поэтому $x = y$, что противоречит третьему равенству.
Таким образом, Дима ошибся, что и требовалось доказать.
Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.
Решение:
Пусть $x, y$ и $z$ - числа, записанные учительницей. Тогда числа, записанные Димой, в каком-то порядке равны $\frac{2}{3}x; \frac{5}{4}y$ и $\frac{4}{5}z$. Предположим, что Дима не ошибся. Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. Произведение чисел, записанных Димой, должно быть равно произведению чисел, записанных учительницей, то есть $\frac{2}{3}x \cdot \frac{5}{4}y \cdot \frac{4}{5} z = xyz$. Так как $xyz \neq 0$ и $\frac{2}{3} \frac{5}{4} \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \neq 1$, то записанное равенство выполняться не может.
Второй способ. Учитывая, что среди записанных чисел нет нулей, получим два варианта возможных равенств: 1)$x = \frac{5}{4}y; y = \frac{4}{5}z$ и $z = \frac{2}{3} x$; 2) $z = \frac{5}{4}y; x = \frac{4}{5}z$ и $y = \frac{2}{3}x$.
1) Из первого равенства следует, что $4x = 5y$, а из второго - что $5y = 4z$, поэтому $x = z$, что противоречит третьему равенству.
2) Из первого равенства следует, что $4z = 5y$, а из второго - что $5x = 4z$, поэтому $x = y$, что противоречит третьему равенству.
Таким образом, Дима ошибся, что и требовалось доказать.
