Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1287
2018-12-01 
Двое по очереди ставят крестики в клетки доски размером $4 \times 4$. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат $2 \times 2$, в каждой клетке которого стоит крестик. Кто выиграет: начинающий или его партнер, и как нужно играть, чтобы выиграть?
Решение:
Разделим доску на две равные части горизонтальной прямой (см. рис.). На каждый ход первого игрока второй должен отвечать точно таким же ходом, но на другой части доски. Например, если первый игрок закрасил левый верхний угол, то второй должен закрасить на левой вертикали вторую клетку снизу.
Покажем, что такая стратегия второго игрока приведёт к его выигрышу. После каждого хода второго игрока картинка на обеих половинах доски будет одинаковой. Если после хода первого игрока в одной из половин доски не образовалось квадрата $2 \times 2$, заполненного крестиками, то и после хода второго в другой половине доски такого квадрата образоваться не может.
Допустим, что такой квадрат образовался после хода второго игрока на «стыке» двух половин доски. Но тогда такой же квадрат образовался ранее, после хода первого игрока на одной из половин доски (см., например, рис.; последние ходы игроков обозначены толстым и тонким пунктиром соответственно).
Отметим, что вместо горизонтальной прямой, делящей доску на две равные части, можно использовать и вертикальную прямую. Приведенное решение можно использовать и в случае, если доска для игры является прямоугольником размера $4 \times n$.
Ответ: выигрывает второй игрок.
Двое по очереди ставят крестики в клетки доски размером $4 \times 4$. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат $2 \times 2$, в каждой клетке которого стоит крестик. Кто выиграет: начинающий или его партнер, и как нужно играть, чтобы выиграть?
Решение:
Разделим доску на две равные части горизонтальной прямой (см. рис.). На каждый ход первого игрока второй должен отвечать точно таким же ходом, но на другой части доски. Например, если первый игрок закрасил левый верхний угол, то второй должен закрасить на левой вертикали вторую клетку снизу.
Покажем, что такая стратегия второго игрока приведёт к его выигрышу. После каждого хода второго игрока картинка на обеих половинах доски будет одинаковой. Если после хода первого игрока в одной из половин доски не образовалось квадрата $2 \times 2$, заполненного крестиками, то и после хода второго в другой половине доски такого квадрата образоваться не может.
Допустим, что такой квадрат образовался после хода второго игрока на «стыке» двух половин доски. Но тогда такой же квадрат образовался ранее, после хода первого игрока на одной из половин доски (см., например, рис.; последние ходы игроков обозначены толстым и тонким пунктиром соответственно).
Отметим, что вместо горизонтальной прямой, делящей доску на две равные части, можно использовать и вертикальную прямую. Приведенное решение можно использовать и в случае, если доска для игры является прямоугольником размера $4 \times n$.
Ответ: выигрывает второй игрок.
