Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1286
2018-12-01 
В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, $\angle ACE = \angle ADB$ и $\angle DBE = \angle BEC$. Известно также, что $BD = CE$. Докажите, что $\angle ACD = \angle ADC$.
Решение:
Пусть $AC$ и $AD$ пересекают отрезок $BE$ в точках $K$ и $M$ соответственно (см. рис.). Из условия задачи следует, что треугольники $CEK$ и $DBM$ равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $CK = DM$ и $\angle CKE = \angle DMB$. Тогда $\angle AKE = \angle AMB$ (углы, смежные с равными). Получим, что в треугольнике $AMK$ равны углы, прилежащие к стороне $MK$, поэтому этот треугольник - равнобедренный ($AK = AM$). Следовательно, $AC = AK + CK = AM + DM = AD$, то есть треугольник $ACD$ - также равнобедренный (с основанием $CD$). Поэтому $\angle ACD = \angle ADC$, что и требовалось доказать.
В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, $\angle ACE = \angle ADB$ и $\angle DBE = \angle BEC$. Известно также, что $BD = CE$. Докажите, что $\angle ACD = \angle ADC$.
Решение:
Пусть $AC$ и $AD$ пересекают отрезок $BE$ в точках $K$ и $M$ соответственно (см. рис.). Из условия задачи следует, что треугольники $CEK$ и $DBM$ равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $CK = DM$ и $\angle CKE = \angle DMB$. Тогда $\angle AKE = \angle AMB$ (углы, смежные с равными). Получим, что в треугольнике $AMK$ равны углы, прилежащие к стороне $MK$, поэтому этот треугольник - равнобедренный ($AK = AM$). Следовательно, $AC = AK + CK = AM + DM = AD$, то есть треугольник $ACD$ - также равнобедренный (с основанием $CD$). Поэтому $\angle ACD = \angle ADC$, что и требовалось доказать.
