Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1285
2018-12-01 
Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвел его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - задуманные натуральные числа, тогда по условию $a^{3} - a = b^{3} - b$. Преобразуем: $(a^{3} - b^{3}) - (a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) - (a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^{2} + ab + b^{2} - 1) = 0$. Так как при любых натуральных значениях $a$ и $b$ вторая скобка принимает положительные значения, то равенство возможно только при $a = b$.
Ответ: нет, не могло.
Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвел его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - задуманные натуральные числа, тогда по условию $a^{3} - a = b^{3} - b$. Преобразуем: $(a^{3} - b^{3}) - (a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) - (a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^{2} + ab + b^{2} - 1) = 0$. Так как при любых натуральных значениях $a$ и $b$ вторая скобка принимает положительные значения, то равенство возможно только при $a = b$.
Ответ: нет, не могло.
