Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1278
2018-12-01 
Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
Решение:
Например, если Вася задумал число 91, а Петя - число 100, то оба получили сумму 101.
Отметим, что среди двузначных чисел нельзя найти два различных числа, у которых равны сумма самого числа и его суммы цифр. Действительно, пусть два таких числа $\overline{ab} = 10a + b$ и $\overline{cd} = 10c + d$ существуют, тогда $11a + 2b = 11c + 2d \Leftrightarrow 11 (a - c) = 2(d - b)$. Если $b = d$, то $a = c$, тогда $\overline{ab} = \overline{cd}$. Если $b \neq d$, тo $d - b$ делится на 11, что невозможно, так как $d$ и $b$ - цифры.
Ответ: нет, неверно.
Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
Решение:
Например, если Вася задумал число 91, а Петя - число 100, то оба получили сумму 101.
Отметим, что среди двузначных чисел нельзя найти два различных числа, у которых равны сумма самого числа и его суммы цифр. Действительно, пусть два таких числа $\overline{ab} = 10a + b$ и $\overline{cd} = 10c + d$ существуют, тогда $11a + 2b = 11c + 2d \Leftrightarrow 11 (a - c) = 2(d - b)$. Если $b = d$, то $a = c$, тогда $\overline{ab} = \overline{cd}$. Если $b \neq d$, тo $d - b$ делится на 11, что невозможно, так как $d$ и $b$ - цифры.
Ответ: нет, неверно.
