Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1272
2018-12-01 
Треугольник, один из углов которого равен $40^{ \circ}$, разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могли быть остальные углы исходного треугольника?
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник с углом $B$, равным $40^{ \circ}; AK, BL$ и $CM$ - его биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис.).
Докажем, что ни один из образовавшихся углов с вершиной О не может быть прямым. Действительно, если $\angle AOC = 90^{ \circ}$, то $\angle OAC + \angle OCA = 90^{ \circ}$, следовательно, $\angle BAC + \angle BCA = 180^{ \circ}$, что невозможно. Если же $\angle LOC = 90^{ \circ}$, то смежный с ним $\angle BOC = 90^{ \circ}$, и мы приходим к уже разобранному случаю. Таким образом, прямыми могут быть только углы с вершинами в точках $M, K$ и $L$. Возможны два случая:
1) прямым является угол при вершине $L$ (см. рис. );
2) прямым является один из углов: либо при вершине $K$, либо при вершине $M$ (см. рис.). В первом случае биссектриса $BL$ является высотой треугольника, то есть, треугольник $ABC$ - равнобедренный с основанием $AC$ и его углы: $40^{ \circ}; 70^{ \circ}; 70^{ \circ}$. Во втором случае треугольник $ABC$ также равнобедренный, но с основанием $BC$ (либо с основанием $AB$) и его Углы: $40^{ \circ}; 40^{ \circ}; 100^{ \circ}$.
Заметим, что так как треугольник $ABC$ не равносторонний, то только одна из биссектрис данного треугольника может быть перпендикулярна стороне.
Ответ: либо два угла по $70^{ \circ}$, либо $40^{ \circ}$ и $100^{ \circ}$.
Треугольник, один из углов которого равен $40^{ \circ}$, разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могли быть остальные углы исходного треугольника?
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник с углом $B$, равным $40^{ \circ}; AK, BL$ и $CM$ - его биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис.).
Докажем, что ни один из образовавшихся углов с вершиной О не может быть прямым. Действительно, если $\angle AOC = 90^{ \circ}$, то $\angle OAC + \angle OCA = 90^{ \circ}$, следовательно, $\angle BAC + \angle BCA = 180^{ \circ}$, что невозможно. Если же $\angle LOC = 90^{ \circ}$, то смежный с ним $\angle BOC = 90^{ \circ}$, и мы приходим к уже разобранному случаю. Таким образом, прямыми могут быть только углы с вершинами в точках $M, K$ и $L$. Возможны два случая:
1) прямым является угол при вершине $L$ (см. рис. );
2) прямым является один из углов: либо при вершине $K$, либо при вершине $M$ (см. рис.). В первом случае биссектриса $BL$ является высотой треугольника, то есть, треугольник $ABC$ - равнобедренный с основанием $AC$ и его углы: $40^{ \circ}; 70^{ \circ}; 70^{ \circ}$. Во втором случае треугольник $ABC$ также равнобедренный, но с основанием $BC$ (либо с основанием $AB$) и его Углы: $40^{ \circ}; 40^{ \circ}; 100^{ \circ}$.
Заметим, что так как треугольник $ABC$ не равносторонний, то только одна из биссектрис данного треугольника может быть перпендикулярна стороне.
Ответ: либо два угла по $70^{ \circ}$, либо $40^{ \circ}$ и $100^{ \circ}$.
