Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1270
2018-12-01 
$ABCD$ - квадрат. Треугольники К $AMD$ и $AKB$ - равносторонние (см. рисунок). Верно ли, что точки $C, M$ и $K$ лежат на одной прямой?
Решение:
Проведем отрезки $MK$ и $MC$ и докажем, что $\angle KMC$ - развернутый (см. рис.). Так как сторона каждого равностороннего треугольника равна стороне квадрата, то треугольники $KAM$ и $MDC$ - равнобедренные с основаниями $KM$ и $MC$ соответственно. Заметим, что $\angle KAM = \angle KAB + \angle BAM = 60^{ \circ} + 30^{ \circ} = 90^{ \circ}$, a $\angle MDC = 30^{ \circ}$. Следовательно, $\angle KMA = 45^{ \circ}, \angle DMC = 75^{ \circ}$. То есть, $\angle KMC = \angle KMA + \angle AMD + \angle DMC = 45^{ \circ} + 60^{ \circ} + 75^{ \circ} = 180^{ \circ}$, то есть, точки $C, M$ и $K$ лежат на одной прямой.
Ответ: да, верно.
$ABCD$ - квадрат. Треугольники К $AMD$ и $AKB$ - равносторонние (см. рисунок). Верно ли, что точки $C, M$ и $K$ лежат на одной прямой?
Решение:
Проведем отрезки $MK$ и $MC$ и докажем, что $\angle KMC$ - развернутый (см. рис.). Так как сторона каждого равностороннего треугольника равна стороне квадрата, то треугольники $KAM$ и $MDC$ - равнобедренные с основаниями $KM$ и $MC$ соответственно. Заметим, что $\angle KAM = \angle KAB + \angle BAM = 60^{ \circ} + 30^{ \circ} = 90^{ \circ}$, a $\angle MDC = 30^{ \circ}$. Следовательно, $\angle KMA = 45^{ \circ}, \angle DMC = 75^{ \circ}$. То есть, $\angle KMC = \angle KMA + \angle AMD + \angle DMC = 45^{ \circ} + 60^{ \circ} + 75^{ \circ} = 180^{ \circ}$, то есть, точки $C, M$ и $K$ лежат на одной прямой.
Ответ: да, верно.
