Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1269
2018-12-01 
Докажите, что если $xy + z = yz + x = zx + y$, то $(x - y)(y - z)(z - x) = 0$.
Решение:
$xy + z = yz + x \Leftrightarrow xy - yz + z - x = 0 \Leftrightarrow y(x - z) - (x - z) = = 0 \Leftrightarrow (x - z)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x = z$ или $y = 1$. Аналогично, из равенства $xy + z = zx + y$ можно получить, что $y = z$ или $x = 1$, а из равенства $yz + x = zx + y$ можно получить, что $x = y$ или $z = 1$. Заметим, что если выполняется хотя бы одно из равенств $x = z, y = z$ или $x = y$, то равенство $(x - y)(y - z)(z - x) = 0$ также выполняется. Предположим, что это не так, то есть: $x \neq z, y \neq z$ и $x \neq y$, тогда $x = 1, y = 1$ и $z = 1$, следовательно, $x = y = z$ - противоречие. Таким образом, выполняется хотя бы одно из равенств $x = z, y = z$ или $x = y$, следовательно, выполняется и доказываемое равенство.
Докажите, что если $xy + z = yz + x = zx + y$, то $(x - y)(y - z)(z - x) = 0$.
Решение:
$xy + z = yz + x \Leftrightarrow xy - yz + z - x = 0 \Leftrightarrow y(x - z) - (x - z) = = 0 \Leftrightarrow (x - z)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x = z$ или $y = 1$. Аналогично, из равенства $xy + z = zx + y$ можно получить, что $y = z$ или $x = 1$, а из равенства $yz + x = zx + y$ можно получить, что $x = y$ или $z = 1$. Заметим, что если выполняется хотя бы одно из равенств $x = z, y = z$ или $x = y$, то равенство $(x - y)(y - z)(z - x) = 0$ также выполняется. Предположим, что это не так, то есть: $x \neq z, y \neq z$ и $x \neq y$, тогда $x = 1, y = 1$ и $z = 1$, следовательно, $x = y = z$ - противоречие. Таким образом, выполняется хотя бы одно из равенств $x = z, y = z$ или $x = y$, следовательно, выполняется и доказываемое равенство.
