Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1264
2018-12-01 
Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?
Решение:
Заметим, что если в турнире $n$ участников, то по круговой системе должно быть сыграно $\frac{n(n - 1)}{2}$ партии. Поэтому, если участников было 7, то сыгранных партий должно быть 21, если участников 8, то сыгранных партий - 28, а если участников 9, то сыгранных партий - 36. Так как всего было сыграно больше 21 партии, то количество участников больше семи, а так как было сыграно менее 28 партий, то количество участников, закончивших турнир, меньше восьми, а всего участников - меньше десяти. Таким образом, первоначально в турнире могло участвовать либо 8, либо 9 шахматистов. В первом случае не сыграно 28 - 23 = 5 партий, а во втором: 36 - 23 = 13 партий, то есть, в обоих случаях остались несыгранными нечетное количество партий. Если предположить, что Вася и Петя успели сыграть между собой, то количество несыгранных партий должно оказаться четным (поровну у Васи и у Пети).
Ответ: нет, не успели.
Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?
Решение:
Заметим, что если в турнире $n$ участников, то по круговой системе должно быть сыграно $\frac{n(n - 1)}{2}$ партии. Поэтому, если участников было 7, то сыгранных партий должно быть 21, если участников 8, то сыгранных партий - 28, а если участников 9, то сыгранных партий - 36. Так как всего было сыграно больше 21 партии, то количество участников больше семи, а так как было сыграно менее 28 партий, то количество участников, закончивших турнир, меньше восьми, а всего участников - меньше десяти. Таким образом, первоначально в турнире могло участвовать либо 8, либо 9 шахматистов. В первом случае не сыграно 28 - 23 = 5 партий, а во втором: 36 - 23 = 13 партий, то есть, в обоих случаях остались несыгранными нечетное количество партий. Если предположить, что Вася и Петя успели сыграть между собой, то количество несыгранных партий должно оказаться четным (поровну у Васи и у Пети).
Ответ: нет, не успели.
