Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1260
2018-12-01 
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $CK$, пересекающиеся в точке О. Может ли угол $AOC$ оказаться острым?
Решение:
Первый способ. Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AM$ и $CK$ - его биссектрисы (см. рис.). Пусть $\angle AOC$ - острый, то есть, $\angle AOC < 90^{ \circ}$, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника $AOC$, получим, что $\angle OAC + \angle OCA > 90^{ \circ}$. Следовательно, $\angle BAC + \angle BCA > 180^{ \circ}$, что невозможно, так как это углы треугольника $ABC$.
Второй способ. Пусть $\angle ABC = \beta$, тогда вычислим $\angle AOC: \angle BAC + \angle BCA = 180^{ \circ} - \beta; \angle OAC + \angle OCA = 90^{ \circ} - 0,5 \beta > 90^{ \circ}$, то есть, $\angle AOC$ - тупой.
Ответ: нет, не может.
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $CK$, пересекающиеся в точке О. Может ли угол $AOC$ оказаться острым?
Решение:
Первый способ. Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AM$ и $CK$ - его биссектрисы (см. рис.). Пусть $\angle AOC$ - острый, то есть, $\angle AOC < 90^{ \circ}$, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника $AOC$, получим, что $\angle OAC + \angle OCA > 90^{ \circ}$. Следовательно, $\angle BAC + \angle BCA > 180^{ \circ}$, что невозможно, так как это углы треугольника $ABC$.
Второй способ. Пусть $\angle ABC = \beta$, тогда вычислим $\angle AOC: \angle BAC + \angle BCA = 180^{ \circ} - \beta; \angle OAC + \angle OCA = 90^{ \circ} - 0,5 \beta > 90^{ \circ}$, то есть, $\angle AOC$ - тупой.
Ответ: нет, не может.
