Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1259
2018-12-01 
На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза.
В результате, на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?
Решение:
Первый способ. Заметим, что если даны $n$ точек, то после выполнения указанной операции появится еще $n - 1$ точка, а всего точек станет $2n - 1$. Тогда количество точек перед проведением последней операции можно найти из уравнения $2n - 1 = 65$, откуда $n = 33$. Далее, поступая аналогично, получим уравнения:
1) $2n - 1 = 33$, откуда $n = 17$;
2) $2n - 1 = 17$, откуда $n = 9$;
3) $2n - 1 = 9$, откуда $n = 5$.
Второй способ. Пусть $x$ - первоначальное количество точек, тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет $2x - 1$, а после повторения операции точек будет $(2x - 1) + (2x - 2) = 4x - 3$. Аналогично, в следующий раз точек станет $(4x - 3) + (4x - 4) = 8x - 7$, а в итоге окажется $(8x - 7) + (8x - 8) = 16x - 15$ точек. Решая уравнение $16x - 15 = 65$, получим, что $x = 5$.
Ответ: 5 точек.
На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза.
В результате, на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?
Решение:
Первый способ. Заметим, что если даны $n$ точек, то после выполнения указанной операции появится еще $n - 1$ точка, а всего точек станет $2n - 1$. Тогда количество точек перед проведением последней операции можно найти из уравнения $2n - 1 = 65$, откуда $n = 33$. Далее, поступая аналогично, получим уравнения:
1) $2n - 1 = 33$, откуда $n = 17$;
2) $2n - 1 = 17$, откуда $n = 9$;
3) $2n - 1 = 9$, откуда $n = 5$.
Второй способ. Пусть $x$ - первоначальное количество точек, тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет $2x - 1$, а после повторения операции точек будет $(2x - 1) + (2x - 2) = 4x - 3$. Аналогично, в следующий раз точек станет $(4x - 3) + (4x - 4) = 8x - 7$, а в итоге окажется $(8x - 7) + (8x - 8) = 16x - 15$ точек. Решая уравнение $16x - 15 = 65$, получим, что $x = 5$.
Ответ: 5 точек.
